1907年，英國作家兼數學家亨利·歐內斯特·達德尼（Henry Ernest Dudeney）提出了一個難題：是否可以將任何等邊三角形都切成盡可能少的碎片，以形成一個完美的正方形？四個星期後，他提出了一個優雅的解決方案，表明只需要四件。
將一種形狀轉化為另一種形狀的過程通過將第一個形狀切成碎片並重新安排被稱為解剖。解剖的一個關鍵挑戰是最大程度地減少將一個多邊形形狀轉化為另一種多邊形所需的碎片數量，這個問題吸引了數學家，拼圖製造商和求解器數百年。
Dudeney的難題仍然是最著名的解剖問題之一。解剖問題不僅關注數學家，而且在諸如紡織品設計，工程和製造等領域都有實際應用。由於Dudeney在120年前首次提出了他的解決方案以來，仍然存在一個揮之不去的問題：是否有更好的解決方案需要將三角形切成少於四個部分？
在一項新的研究中，來自日本科學技術高級技術學院（JAIST）的Ryuhei Uehara教授和Tonan Kamata教授以及馬薩諸塞州技術學院的Erik Demaine教授終於回答了這個問題。他們證明了達德尼的原始解決方案是最佳的。
“一個多世紀後，我們終於通過證明等邊三角形和正方形對三個或更少的多邊形作品沒有共同的解剖來解決了達德尼的難題，”烏哈拉教授說。 “我們使用利用匹配圖的新穎證明技術實現了這一目標。”
他們的研究是作為關於開放訪問存儲庫arxiv2024年12月5日，在第23洛杉磯/EATCS-日本工作室舉行關於2025年1月的理論計算機科學。
刪除產生非簡單多邊形的切割線後，獲得的解剖具有相同或更少的碎片。 ©arxiv（2024）。 doi：10.48550/arxiv.2412.03865
在他們的研究中，研究人員證明了一個關鍵定理：當禁止將這些碎片翻轉時，等邊三角形與三角形或更少碎片的正方形之間沒有解剖。 Dudeney的原始解決方案也不涉及翻轉。為了確定這一點，研究人員首先通過分析了問題的幾何約束來排除兩件解剖的可能性。
接下來，他們系統地探索了三件式解剖的可能性。使用解剖的基本特性，它們縮小了三件式解剖的切割方法的可行組合。最後，他們使用匹配圖的概念嚴格地證明，三件式解剖的這些組合都不是可行的，因此證明了正方形和等邊三角形之間的解剖無法用三個或更少的零件來實現。
匹配圖在他們的證明中起著核心作用。在這種方法中，將解剖中使用的切割片組簡化為捕獲碎片邊緣和頂點之間關係的圖形結構，從而形成三角形和正方形。研究人員發現，這種方法不僅適用於Dudeney的難題，而且通常也可以應用於其他解剖問題。
“據說自人類開始加工動物生產以製作衣服以來，切割和重新排列形狀的問題就存在。在使用薄材料的任何情況下，也會遇到此類問題。” Uehara教授解釋說。 “我們的證明為理解和解決解剖問題開闢了新的視野。”
儘管通過找到具有一定數量的零件的解決方案來解決許多解剖問題，但從未有正式證明表明特定解決方案是最佳的，使用最少的零件。這項研究中開發的技術是第一個證明這種最佳性的技術。
“我們的技術表明，對於現實世界的切割和重新啟動問題是可能的。通過進一步的完善，這也可能導致發現全新的解決方案來解剖問題，” Uehara教授總結道。
更多信息：
Erik D. Demaine等人，Dudeney的解剖是最佳的，arxiv（2024）。doi：10.48550/arxiv.2412.03865
引用：
達德尼（Dudeney）的120年曆史解剖拼圖解決方案證明了最佳（2025年3月10日）
