最初定义为圆的周长与其直径之间的比率，——写成希腊字母π——出现在整个数学中，包括与化学、物理科学和医学等领域完全无关的领域。
Pi 属于一个称为无理数的巨大数学群，它永远存在并且不能写成分数。科学家们计算出 pi，尽管我们大多数人都更熟悉近似值 3.14。但我们怎么知道 pi 是一个无理数呢？
“理性是显式访问数字的实用属性，即无需任何近似......因此能够以有限数量的符号写入数字，”瓦迪姆·祖迪林荷兰拉德堡德大学的数学家告诉《生活科学》杂志。
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然而，实际上证明你不能将 pi 写成分数是一个令人惊讶的棘手问题。解释说，没有通用的方法来证明特定数字是无理数，因此他们必须为每种情况开发不同的证明基思·康拉德，康涅狄格大学数学家。 “你怎么知道一个数不是分数？”他说。 “你正试图验证一个负属性。”
尽管存在这样的困难，在过去的 300 年里，数学家们利用数学领域的技术，建立了 pi 无理数的不同证明。这些论证中的每一个都以 pi 是有理数这一假设开始，并以方程的形式写出。通过一系列的操作和关于这个方程中未知值的性质，随后很明显数学与这个原始断言相矛盾，从而得出 pi 一定是无理数的结论。
所涉及的具体数学通常非常复杂，通常需要对微积分、三角学和无穷级数有大学水平的理解。然而，每种方法都依赖于反证法的中心思想。
”有使用微积分和三角函数的证明，”康拉德说。“在其中一些例子中，π被选为 sin(x) = 0 的第一个正解。兰伯特在 1760 年代的第一个证明使用了一种称为无限连分数的数学——它是一种无限嵌套的分数。
然而，除了直接证明 pi 是无理数之外，还可以使用数字的不同属性来确认无理数。 Pi 属于另一个称为超越数的数值组，它不是代数，而且重要的是不能写成多项式方程的根。因为每个超越数都是无理数，所以任何证明 pi 是超越数的证明也证明 pi 是无理数。
“使用复数微积分，你可以证明 π 是超越的，”康拉德说。 “证明使用了非常著名的方程，称为欧拉恒等式：eπ+1 = 0。”
尽管圆周率的普遍重要性可能源于这种无形的非理性，但七位或八位小数通常足以满足任何现实世界的应用。甚至pi 的计算。
“我们出于实际目的估算了该值，3.1415926 - 这已经是很多信息了！”祖迪林说道。 “但当然在数学中，这并不令人满意。我们关心数字的性质。”
