“询问任何专业数学家整个领域中最重要的开放问题是什么，”写道数学家基思·德夫林，1998 年,“你几乎肯定会收到‘黎曼猜想’的答案”。
自 1859 年首次提出以来，黎曼猜想一直是“数学的圣杯”。它是大卫·希尔伯特的 23 个问题1900年，七人之一千年奖问题一个世纪后。
它是被称为“最著名的未解决的问题......在所有数学中”，并且有充分的理由：有数十本专门讨论该问题的书籍，出现在电视上，并且在新闻周期中占有半常规的位置。
但它是什么？为什么人们不断地试图证明这一点？如果他们这样做了会发生什么？
是时候深入研究数学，看看我们是否能理解黎曼假设了。
黎曼假设很难理解吗？
似乎经常有一条不成文的规则：数学问题越难，对于外行人来说看起来就越容易。例如，费马大定理就花了 350 多年证明，并且可以用一句话来表达。
黎曼猜想是一个明显的例外。为了理解猜想的陈述，你至少需要一些复分析和解析数论的知识——更不用说阅读数学速记的能力，它本身通常就是一种语言。
但如果我们就此打住的话，这并不足以解释一切——所以让我们去参加一个素数论速成班，并弄清楚这个有 160 年历史的谜题到底意味着什么。
为什么涉及素数？
在理解黎曼假设为何重要之前，您必须先了解素数是什么。您可能还记得您的小学数学老师将它们描述为只能被自身和一整除的数字，这是事实，但这并不是它们的全部。对于专业数学家来说，这一特性使它们变得极其重要：它们基本上是数学的原子。正如（至少在理论上）任何物理物品都可以分解为其组成原子一样，您能想到的任何整数都可以分解为一组唯一的原子。主要因素。随机选取一个例子，231 可以表示为 3、7 和 11 的乘积。
这很重要，不仅仅是因为它让数学家感到内心温暖而模糊。这种数学用于通过互联网发送加密消息：它被称为 RSA 加密，它的工作原理是，将一个大数分解为其质因数比将一堆质因数分解为质因数要困难得多。找出它们相乘的最大数。
所以素数很重要，但它们也是棘手的小混蛋。仅仅因为你找到了一个数字并不能帮助你预测下一个数字，而最终检查一个数字是否是素数的唯一方法就是系统地沿着数轴寻找因子。但稍微眯一下眼睛，那里可能有一种模式——而不是在在哪里素数在数轴上，但在多少有。
十八世纪末，两位传奇数学家卡尔·弗里德里希·高斯和阿德里安·玛丽·勒让德显然开始了完全独立彼此之间，研究素数。但他们决定以一种新的方式来处理这个概念：他们正在研究密度素数 - 问题“我应该在数轴的这一部分中看到多少个素数？”的答案
为了说明为什么这是一个有趣的问题，请考虑一下 0 到 10 之间有多少个素数：四个。
现在考虑 0 到 100 之间有多少个：25。
在 0 到 1,000 之间，您会找到 168 个质数，在 0 到 10,000 之间（别担心，我不会让您检查）有 1,229 个质数。
因此，每当我们将间隔的大小增加十倍时，分配给素数的数量就会从 40% 增加到 25%，再到 16.8%，再到 12.29%。换句话说：素数变得越来越“稀有”。到了 1793 年，年仅 16 岁的高斯已经弄清楚了如何做到这一点。
“我很快就认出了，”他写道在给他的朋友约翰·恩克（Johann Encke）的一封信中，“在所有波动的背后，这个频率平均与对数成反比，因此低于给定界限 n 的素数数量大约等于？DN/日志（n）”。
这个相当随意的评论被现代数学重写，现在被称为素数定理。
关于“平均”行为就讲这么多，但是高斯提到的那些“波动”呢？嗯，这些都与 zeta 函数有关——这就是黎曼的用武之地。
伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann) 是高斯的学生，他提出许多重要贡献到数学的世界。他的工作影响了从微积分到微分几何的方方面面，甚至为广义相对论的发展奠定了基础，这对于一个没有参加14 岁之前接受正规教育。简而言之但令人印象深刻一生中，他只写过一篇关于数论的论文，但这真是太疯狂了：1859 年，作为他当选柏林科学院院士的条件，黎曼提交了一篇现在著名的论文，题为“论素数的数量”小于给定的幅度”。
zeta 函数，因其用希腊字母 zeta 表示而得名，有起初欧拉几乎考虑过一个世纪前。
然而，黎曼对 zeta 函数所做的却完全不同。
看到了吗？那右已成为一个C。我知道它看起来并不多，但是这个小小的变化使 zeta 函数从实数变成了复数，这完全是一个非常不同的函数。这一变化非常重要，以至于该函数现在被称为黎曼zeta函数，而且很多人根本不知道欧拉与此有任何关系（不过，不要为老欧拉感到太难过——他有足够的 东西 命名的 后 他 已经.)
等等——复数？这些是什么？
啊，是的——抱歉。复数并不难理解，但除非您拥有数学学位，否则您很有可能以前从未见过它们。基本上，有两种类型的数字：实数和复数（好吧，有四元数同样，但它们现在并不重要，所以我们不要混淆。）
一个实数如果有人说“想一个数字”，你可能会想到任何数字。是的，即使你感到厚脸皮并想出类似的东西？或日志(2)。基本上，如果您可以在数轴上的任何位置看到它，那么它就是一个实数。
然后还有复数。思考复数的一个好方法就像是图表上的一对坐标。沿着底部，我们有实数轴。从侧面看，我们有所谓的假想数轴，与实数轴几乎相同，只是我们写了一个“我”在每个数字之后。
这我是虚数单位，它的定义特征是，如果对其进行平方，则会得到负数。这就是复数与实数不同的原因：当你对实数求平方时，你可以仅有的得到肯定的答案。当您对复数进行平方时，您可以获得正数或负数的答案。
有一个一堆理由研究复数，但目前对我们来说重要的是当你将它们放入黎曼 zeta 函数时会发生什么。
哪个是什么？
因此，每当我们有一个函数时，数学家喜欢问的一个好问题是：零在哪里？或者换句话说：我可以在这个函数中放入什么值才能得到零的答案？
黎曼在他 1859 年的论文中计算了其中一些零，他发现所有这些零的实部都等于 1/2，或者，如果你想用我们的图形坐标来思考它，它们都位于同一个位置。垂线。
黎曼 Zeta 图
事实上，黎曼认为很可能全部zeta 函数的无限个零位于这条线上。
这就是黎曼猜想？
就是这样！黎曼假设指出“黎曼 zeta 函数的每个非平凡零的实部是 1/2”。
其实是已显示那第一个十万亿零确实位于这条“临界线”上，这就是为什么很多人认为它一定是真的的原因之一。但在数学中，实验——甚至十万亿次实验——都不能证明，在数学上证明假设之前，十万亿次和一分之一零总是有可能出现在不同的地方。
奇怪的是，黎曼似乎并不理解他的假设的开创性含义。他漫不经心地提起这件事，当作不重要的旁白，然后继续前进。
为什么它如此重要？
黎曼假设已被证明几乎与数学的每个领域相关，并且相当于令人难以置信的范围看似无关的猜想。甚至还出现了晶体中。
数百个定理取决于它是否属实，所以有很多事情取决于它。当然，数学家本身也有一个小问题，如果黎曼假设被证明是错误的，他们可能会遇到集体身份危机。正如数学家彼得·萨纳克 (Peter Sarnak)说：
“如果[黎曼猜想]不成立，那么世界就会变得非常不同。整数和素数的整个结构将与我们想象的非常不同。在某种程度上，如果它是假的，那会更有趣，但这将是一场灾难，因为我们已经围绕假设它的真实性做了很多工作。”
我听说有人证明了黎曼猜想——这是真的吗？
嗯……可能不会，不会。毕竟，160 多年过去了，世界上最优秀的数学家还没有能够破解它。
时不时地，有人会用所谓的“证据”登上头条，但到目前为止还没有得到证实。 2015年，谣言开始流传尼日利亚数学教授 Opeyemi Enoch 已经解决了这个问题，但他们几乎立即揭穿了。
2018年著名数学家和物理学家迈克尔·阿蒂亚爵士宣布他有一个解决方案——但是没坚持住。
最近，海得拉巴物理学家库马尔·埃斯瓦兰 (Kumar Eswaran)报道证明了这个假设，但这些报告是迅速收回当克莱研究所宣布证明无效时，百万美元的奖金仍在争夺中。
你说一百万美元吗？
是的——还记得我之前提到的那些“千年奖”问题吗？的解决方案是他们中的任何一个将为负责任的数学家赢得 1,000,000 美元。到目前为止，只有一个被破解——而且不是黎曼猜想。
当然，任何有自尊心的数学家都会只是为了数学， 正确的？
正确的！但在一个不相关的问题上，解决黎曼假设的最佳方法是什么？
这取决于你问谁！事实是，我们真的不知道——但考虑到有多少人有尝试过但失败了它可能会来自意想不到的地方，甚至可能是一个全新的数学领域。
当然，这是假设它完全可以解决。数学家格雷戈里·柴廷 (Gregory Chaitin)建议证明可能不存在——但讽刺的是，这本身是不可能证明的！
那么研究它还有什么意义呢？
听着，你确实不太可能赢得 100 万美元，也不太可能解决 160 多年来无人能解决的问题。但事实并非如此不可能的。但实际上，所有这些数学家努力寻找可能不存在的证明的好处就是他们同时发现的。
证明费马大定理花了350年，但这350年充满了数学创新由寻求解决方案的人们发现的。黎曼假设才诞生 160 年——谁知道我们还没有发现什么数学呢？
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