當一個結果像我們現在所知的畢達哥拉斯定理一樣長久存在時——它就是，根據最後的統計——你可能認為不會有太多新的內容可以說。 但正如來自新奧爾良的兩名高中生現在可能已經表明的那樣，總是有更多東西需要學習——而在這種情況下，這是大多數數學家幾個世紀以來認為不可能的事情。
「自三角學被發現以來的 2000 年來，人們一直認為任何基於三角學的畢達哥拉斯定理的所謂證明都必須是圓的，」開始摘要Ne'Kiya Jackson 和 Calcea Rujean Johnson 在 2023 年 3 月 18 日美國數學會春季東南分會會議上的演講。
「但這並不完全正確，」他們爭辯道。 「在我們的講座中，我們提出了畢達哥拉斯定理的新證明，該定理基於三角學的基本結果 - 正弦定理 - 我們證明該證明獨立於畢達哥拉斯三角恆等式 sin2x+餘弦2x = 1。
這結果在數學界引起了不小的轟動。 「我很興奮兩個高中生能夠想出這個方案，」YouTuber MathTrain 在一篇文章中說道。最近的影片關於證明。 “在像這個定理這樣廣為人知的領域中很難出現新的想法，所以我很高興看到完整的論文發布。”
那麼，到底是什麼讓數學家們對這個新證明如此興奮呢？ 首先，讓我們提醒自己畢達哥拉斯定理到底說了什麼：給定一個直角三角形，兩邊標記為A和乙最長的邊標記為C，定理告訴我們
A2 +乙2 =C2。
畢達哥拉斯定理指出，對於直角三角形，2+b2=c2。 圖片來源：© IFLScience
曾經有過字面上有數百個幾個世紀以來這個小事實的證據，從簡單的幾何演示進行計算使用微分或者複數。
然而，這些證明很少依賴三角學——也就是幾何圖形中角度和長度比的研究。 這是有充分理由的：三角學的大多數基本規則本身都是基於畢達哥拉斯定理，這意味著任何此類證明都可能最終乞求問題而不是真正具有任何邏輯意義。
但正如約翰遜和傑克遜指出的那樣，該規則也有一些例外——包括數學家稱為正弦定律的結果。 如果我們標記角落的對邊A作為角度A, 角的對邊乙作為角度乙，以及角的對邊C作為角度C，那麼正弦定理說
罪A/A=罪乙/乙=罪C/C。
正弦定理適用於所有三角形，而不僅僅是直角三角形。 圖片來源：© IFLScience
儘管本質上是一種典型的三角關係——畢竟，正弦函數被定義為直角三角形兩邊之間的比率——你不需要比基本幾何來證明這個方程式。 這意味著它獨立於畢達哥拉斯定理而成立——因此它可以用作證明的基礎，而不會造成任何邏輯上的麻煩。
到目前為止，一切都很好，但這兩位初露頭角的數學家究竟是如何從這裡開始的呢？ 不幸的是，由於證明是作為演示文稿而不是論文提供的，所以它沒有被發表——但對我們來說幸運的是，當地一家報道女孩們成就的新聞電台展示了她們的一些幻燈片，熱切的線上數學家們已經躍躍欲試了。
「放大影片中的幻燈片，您實際上可以相當輕鬆地重建證明，」MathTrain 解釋道。 “我只花了大約一個小時……做起來很有趣。”
MathTrain 繼續示範的證明就這麼簡單美麗的。 首先，我們建構一個直角三角形──這可能是畢達哥拉斯定理證明的第一步──並標記邊和角。 到目前為止，都是標準的。
下一步是事情變得更有趣的地方。 我們在圖中添加更多三角形：首先，將其鏡像添加到一側，將原始三角形加倍； 然後我們延伸這個鏡像三角形的斜邊，直到它與垂直於原始斜邊的線相連。
結果就是一個新的直角三角形－一個有邊長的三角形C,X和斜邊z。 但證明的關鍵不在於這個更大的數字，而是填滿它的較小的數字。
「構造的最後一部分是將這個大三角形細分為無限多個較小的直角三角形，這些直角三角形都與我們繪製的原始三角形相似，」MathTrain 解釋道。 「約翰遜和傑克遜注意到，當你繼續無限下降時，連續三角形之間的比率是A/乙對於每個三角形。
從這裡我們可以看到長度X和z只是這些連續三角形的斜邊總和。 那就太好了——當然，除了有無限的因素需要加起來之外。
這樣我們就跳到了無限級數的世界——在這種情況下，就是無限幾何級數。 幸運的是，這些都經過充分研究並且很容易解決，而一個簡單的公式告訴我們需要的長度：我們發現
x =C/乙2-A2∙2ab
和
z =C/乙2-A2∙（A2+乙2）。
很容易看出這些方程式彼此非常相似——「事實上，如此相似，如果我們取它們的商，這兩個因素將抵消，我們只剩下2ab/A2+乙2”，MathTrain 指出。
到那裡怎麼走。 圖片來源：© IFLScience
現在，正弦定律終於發揮作用了。 根據sin函數的定義，我們知道X/z等於罪（2A) – 透過將正弦定理應用於由原始直角三角形加上其鏡像所建立的三角形，我們可以看到 sin(2A) 又等於2ab/C2。
這給我們留下了一些看起來已經很可疑的畢達哥拉斯定理：
你還能看見嗎？ 圖片來源：© IFLScience
事實上，只要稍微重新排列和取消就可以發現這個方程式一直存在。
噠噠！ 圖片來源：© IFLScience
「雖然我不確定約翰遜和傑克遜是否確實是這樣證明的，但根據我看到的新聞報道，[這個]應該非常相似，」MathTrain 說。 “我看到的唯一依賴的主要定理是角角定理和正弦定理，這兩個定理都有完全獨立於畢達哥拉斯定理的證明。”
當然，就像任何數學論證一樣，證明在被正式接受之前需要經過同行評審——但至少數學看起來是無懈可擊的。 美國數學會鼓勵兩人將他們的結果發送給這樣的審查，美國數學會執行董事凱瑟琳羅伯茨告訴我們守護者它將允許“我們社區的成員檢查他們的結果並確定他們的證明是否對數學文獻做出了正確的貢獻。”
「[AMS] 慶祝這些早期職業數學家與更廣泛的數學界分享他們的工作，」羅伯茨補充道。 “我們鼓勵他們繼續數學學習。”
至於約翰遜和傑克遜，兩人對他們的成就感到非常高興。 「沒有什麼比這更好的了——能夠做人們認為年輕人做不到的事情，」約翰遜告訴新奧爾良當地新聞台WWL。
“你不會看到像我們這樣的孩子這樣做，”她說，“通常，你必須是成年人才能這樣做。”
