คณิตศาสตร์สุดเจ๋งทั้งหมดของปี 2025 (รวมถึงสองหลักฐานของทฤษฎีบทกรีกโบราณหนึ่งอัน)

ยินดีต้อนรับสู่ 2025! ปีที่น่ารักเต็มไปด้วยสิ่งที่ยอดเยี่ยม เห็นได้ชัดว่าเราไม่ได้พูดถึงสถานะของโลก - นั่นคือทุกสิ่งที่พิจารณา แต่คณิตศาสตร์?ที่อร่อย

เริ่มต้นด้วยความจริงที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับปีใหม่นี้: 2025 เป็นสแควร์ที่สมบูรณ์แบบ มันเท่ากับ 45 × 45 ซึ่งหมายความว่าถ้าเราดึงสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่มีความยาวด้านข้าง 45 หน่วยพื้นที่ทั้งหมดจะเป็น 2025 หน่วยกำลังสอง

นั่นไม่ใช่ทั้งหมด: เพราะมันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสแปลก ๆ มันก็เป็นหมายเลขแปดเหลี่ยมที่อยู่ตรงกลาง - ซึ่งเหมือนกับตัวเลขสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสิ่งที่ดูเหมือนว่ามันจะเป็นเช่นนั้น: มันหมายความว่าเราสามารถวาดได้อย่างสมบูรณ์แบบใช้ชิ้นส่วน 2025 ชิ้น

เราสามารถมีความซับซ้อนมากขึ้น: 2025 เป็นหมายเลข enneadecagonal (สำหรับคนไม่กี่คนที่ไม่ได้เป็นผู้มีชื่อมืออาชีพซึ่งเป็นรูปร่างที่มีรูปร่าง 19 ด้าน) น่าเสียดายสำหรับเรามันเป็นหมายเลข enneadecagonal เชิงลบ --15th -ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะวาด

เรารู้ว่ามันถูกต้องเพราะหมายเลข enneadecagonal ทั้งหมดได้รับจากสูตรต่อไปนี้:

n_ม.-ม.(17ม.- 15)/2

และปิ้งม.= -15 ในสูตรนี้ให้เรา 2025

ชื่อของ 2025

พร้อมกับสแควร์, แปดเหลี่ยมและ Enneadecagonal, 2025 มีชื่อสวยไม่กี่ มันเป็นตัวเลขที่ทรงพลัง: จำนวนเต็มม.เช่นนั้นถ้าP-ม., แล้วP²-ม.- เหตุผลที่ค่อนข้างง่าย - มันคือ 45²ซึ่งเท่ากับ (3²-²× 5²- หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งทุกปัจจัยสำคัญของมันกลับกลายเป็นอย่างน้อยสองครั้ง

นอกจากนี้ยังเป็นหมายเลขที่น่าสนใจหรือหมายเลขเอกภาพซึ่งหมายความว่ามันหารด้วยจำนวนตัวหารที่มี หากต้องการเป็นตัวอย่างที่ง่ายกว่าให้นึกถึง 18: มันมีตัวหารหกตัว - 1, 2, 3, 6, 9 และ 18 - และมันหารด้วยหก ในทำนองเดียวกัน 2025 มี 15 ปัจจัยและหนึ่งในนั้นคือ 15 - รายการทั้งหมดสำหรับบันทึกคือ 1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675 และ 2025

ทฤษฎีบทของปี 2025

มาถึงสิ่งที่ดีกันเถอะ? เราได้เห็นแล้วว่าปี 2025 เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบ แต่ขุดลึกลงไปเล็กน้อยและเราเห็นรูปแบบที่สวยกว่า สี่สิบห้ารูทสแควร์ของจำนวนยังเป็นตัวเลขสามเหลี่ยมและที่หมายความว่าเราสามารถเขียนเป็นผลรวมของตัวเลขติดต่อกัน แบบนี้:

45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

นั่นหมายความว่า

2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)²-

ซึ่งเป็นสิ่งที่ดีแน่นอน แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด ขอบคุณ Nicomachus ผู้ติดตามกรีกโบราณของที่อาศัยอยู่ระหว่างประมาณ 60 ซีอีและ 120 ซีอีเรารู้ว่าตัวเลขที่สามารถเขียนได้เช่นนี้ - สี่เหลี่ยมของตัวเลขสามเหลี่ยม - ยังมีคุณสมบัติที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่ง: พวกเขาสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมของก้อนของตัวเลขเดียวกันเหล่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งเพราะ

2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)²-

เราก็รู้เช่นกัน

2025 = 1³+ 2³+ 3³+ 4³+ 5³+ 6³+ 7³+ 8³+ 9³-

ไม่เจ๋งเหรอ! มีสองสามวิธีในการพิสูจน์สิ่งนี้ - หนึ่งในสิ่งที่ดีที่สุดคือข้อพิสูจน์นี้โดยไม่มีคำพูด:

อีกวิธีหนึ่งคือการใช้คุณสมบัติของตัวเลขสแควร์และคิวบ์เอง - อันที่จริงนี่คือที่ที่ Nicomachus เก่าได้รับเครดิตจริง ๆ แทนที่จะสังเกตทฤษฎีบทเอง ผลลัพธ์ที่เป็นบาร์ของเขาคือการย้อนกลับไปและในทางเทคนิคก็พูดสิ่งนี้:

nn> 0:n³-n²n+1) + (n²n+3) + … + (n²-n−1)

นั่นอาจดู…ดีเหมือนที่เขียนไว้ในภาษาอื่นและมันก็คือ แต่จริงๆแล้วมันหมายความว่าหมายเลขใด ๆnลูกบาศก์สามารถเขียนเป็นผลรวมของnตัวเลขคี่ติดต่อกันเริ่มต้นที่ (n²n+1) แบบนี้:

1 = 1

8 = 3 + 5

27 = 7 + 9 + 11

64 = 13 + 15 + 17 + 19

125 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29

และอื่น ๆ

ตอนนี้เขียนออกมาอย่างนั้นคุณอาจเห็นรูปแบบที่ดีอยู่แล้วใช่ไหม? ถ้าคุณสรุปครั้งแรกKตัวเลขลูกบาศก์คุณจะได้รับ

1³+ 2³+ 3³-K³= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + (K²K+1) + (K²K+3) + … + (K²-K−1)

แต่ตอนนี้เรามาดูตัวเลขสี่เหลี่ยมกันเถอะ พวกเขามีรูปแบบที่คล้ายกันเกิดขึ้นเช่นกัน - พวกเขาสามารถเขียนเช่นนี้:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

และอื่น ๆ - นั่นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสnเท่ากับผลรวมของครั้งแรกnตัวเลขคี่

แต่เดาว่าอะไร? ผลรวมนั้นที่เราพบก่อนหน้านี้คือแม่นยำว่า- มันเป็นผลรวมของครั้งแรก (K²-K)/2 หมายเลขคี่! กล่าวอีกนัยหนึ่ง

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + (K²K+1) + (K²K+3) + … + (K²-K−1) = ((K²-K)/2)²-

ดังนั้นจึงมีสิ่งหนึ่งที่เหลืออยู่เพื่อพิสูจน์และนั่นคือ (K²-K)/2 เท่ากับผลรวมของครั้งแรกKตัวเลขธรรมชาติ โชคดีที่มันค่อนข้างง่าย - เป็นคำจำกัดความของหมายเลขสามเหลี่ยม (หรือถ้าคุณต้องการคุณสามารถทำได้ด้วยสายตา:

อย่างไรก็ตามคุณพิสูจน์ได้ว่าไม่โกหก: ผลรวมของ (nCubes) เท่ากับ (ผลรวมของn) กำลังสอง และตอนนี้เป็นเวลาที่ดีพอ ๆ กับการคลั่งไคล้เกี่ยวกับผลลัพธ์เล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ดีนี้ตั้งแต่ปี 2025 พิสูจน์ได้อย่างสมบูรณ์แบบ สวัสดีปีใหม่!