คณิตศาสตร์เจ๋งๆ ทั้งหมดแห่งปี 2025 (รวมการพิสูจน์สองข้อของทฤษฎีบทกรีกโบราณหนึ่งข้อ)

ยินดีต้อนรับสู่ปี 2025! ปีที่น่ารักเต็มไปด้วยสิ่งดีๆ แน่นอนว่าเราไม่ได้กำลังพูดถึงสถานะของดาวเคราะห์อยู่นั่นเองทุกสิ่งพิจารณาแล้ว แต่คณิตศาสตร์ล่ะ?ที่น่ารับประทาน

เรามาเริ่มด้วยข้อเท็จจริงที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับปีใหม่นี้กันก่อน: ปี 2025 เป็นปีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบ มันเท่ากับ 45 × 45 ซึ่งหมายความว่าถ้าเราวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเก่าขนาดใหญ่โดยมีความยาวด้าน 45 หน่วย พื้นที่ทั้งหมดจะเป็น 2025 หน่วยกำลังสอง

นั่นไม่ใช่ทั้งหมด เนื่องจากมันเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัสแปลก ๆ จึงมีเลขแปดเหลี่ยมอยู่ตรงกลางด้วย ซึ่งเหมือนกับเลขกำลังสองมาก คือชื่อที่ฟังชัดๆ ก็คือ หมายความว่าเราสามารถวาดรูปที่สมบูรณ์แบบได้ใช้ไป 2025 ชิ้นพอดี

เราอาจมีความซับซ้อนมากขึ้นไปอีก: ปี 2025 เป็นตัวเลขแบบห้าเหลี่ยม (สำหรับพวกคุณไม่กี่คนที่ไม่ใช่คนรู้จักรูปร่างแบบมืออาชีพ แน่นอนว่าเป็นตัวเลข 19 ด้าน) น่าเสียดายสำหรับเรา มันคือเลขแปดเหลี่ยมลบ – -15 – เลยวาดยากนิดหน่อย

เรารู้ว่ามันถูกต้อง เพราะเลขแปดเหลี่ยมทั้งหมดได้มาจากสูตรต่อไปนี้:

เอ็น_ม-ม(17ม- 15)/2

และล้มลงม= -15 ในสูตรนี้ทำให้เรามีปี 2025

ชื่อปี 2025

นอกจากรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัส แปดเหลี่ยม และรูปทรงแปดเหลี่ยมแล้ว ปี 2025 ยังมีชื่อที่สวยงามอีกสองสามชื่อ มันเป็นจำนวนทรงพลัง: จำนวนเต็มมเช่นนั้นถ้าพี-ม, แล้วพี²-ม- เหตุผลนั้นค่อนข้างง่าย คือ 45 ปี²ซึ่งเท่ากับ (3²-²×5²– หรืออีกนัยหนึ่ง ทุกปัจจัยเฉพาะของมันจะเพิ่มขึ้นอย่างน้อยสองครั้ง

นอกจากนี้ยังเป็นจำนวนที่ปรับโครงสร้างใหม่ได้หรือจำนวนเทา ซึ่งหมายความว่าหารด้วยจำนวนตัวหารที่มีได้ หากต้องการยกตัวอย่างที่ง่ายกว่านี้ ลองนึกถึง 18 ซึ่งมีตัวหาร 6 ตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 6, 9 และ 18 และหารด้วย 6 ลงตัว ในทำนองเดียวกัน ปี 2025 มี 15 ปัจจัย และหนึ่งในนั้นคือ 15 จริงๆ – รายการทั้งหมดสำหรับบันทึกคือ 1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405 675 และ 2025

ทฤษฎีบทของปี 2025

เรามาเข้าเรื่องกันดีกว่ามั้ย? เราได้เห็นแล้วว่าปี 2025 เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบ แต่ลองเจาะลึกลงไปอีกหน่อยแล้วเราจะเห็นรูปแบบที่สวยงามยิ่งขึ้น สี่สิบห้าซึ่งเป็นรากที่สองของตัวเลขก็เป็นเลขสามเหลี่ยมเช่นกัน และที่หมายความว่าเราสามารถเขียนเป็นผลรวมของตัวเลขติดต่อกันได้ แบบนี้:

45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

นั่นหมายความว่า

2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)²-

ซึ่งก็ดีแน่นอน แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด ขอบคุณ Nicomachus ผู้ติดตามชาวกรีกโบราณซึ่งมีชีวิตอยู่ระหว่างคริสตศักราช 60 ถึงคริสตศักราช 120 เรารู้ว่าตัวเลขที่สามารถเขียนได้เช่นนี้ ซึ่งเป็นกำลังสองของตัวเลขสามเหลี่ยม ก็มีคุณสมบัติที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งเช่นกัน กล่าวคือ สามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมของกำลังสามของตัวเลขเดียวกันเหล่านั้นได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งเพราะว่า

2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)²-

เราก็รู้เช่นกัน

2025 = 1³+2³+ 3³+ 4³+ 5³+ 6³+ 7³+ 8³+ 9³-

ไม่เจ๋งเหรอ! มีหลายวิธีในการพิสูจน์สิ่งนี้ หนึ่งในวิธีพิสูจน์ที่ดีที่สุดคือการพิสูจน์โดยไม่ต้องใช้คำพูด:

อีกวิธีหนึ่งคือการใช้คุณสมบัติของเลขกำลังสองและเลขกำลังสามเอง อันที่จริง นี่คือจุดที่นิโคมาคัสคนเก่าได้รับเครดิตจริงๆ แทนที่จะสังเกตทฤษฎีบทเอง ผลลัพธ์ที่มีชื่อเดียวกันของเขาคือการถอยหลังหนึ่งก้าว และในทางเทคนิคบอกว่า:

nเอ็น>0 :n³-n²n+1) + (n²n+3) + … + (n²-n−1)

นั่นอาจดู... ก็เหมือนกับที่เขียนในภาษาอื่น และเป็นเช่นนั้น แต่จริงๆ แล้ว มันหมายถึงตัวเลขใดๆ ก็ตามnกำลังสามสามารถเขียนเป็นผลรวมของnเลขคี่ติดต่อกันเริ่มต้นที่ (n²n+1) แบบนี้:

1 = 1

8 = 3 + 5

27 = 7 + 9 + 11

64 = 13 + 15 + 17 + 19

125 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29

และอื่น ๆ

ทีนี้เขียนออกมาแบบนั้นคุณก็คงจะเห็นรูปแบบสวยๆ อยู่แล้วใช่ไหม? ถ้าสรุปเป็นอย่างแรก.เคเลขยกกำลังสาม คุณจะได้

1³+2³+ 3³-เค³= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + (เค²เค+1) + (เค²เค+3) + … + (เค²-เค−1)

แต่ทีนี้ลองดูเลขกำลังสองกัน มีรูปแบบที่คล้ายกันเกิดขึ้นเช่นกัน – สามารถเขียนได้ดังนี้:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

และอื่นๆ – นั่นคือกำลังสองของnเท่ากับผลรวมของอันแรกnตัวเลขคี่

แต่เดาอะไรล่ะ? จำนวนที่เราพบก่อนหน้านี้คือตรงนั้น– มันคือผลรวมของอันแรก (เค²-เค)/2 เลขคี่! กล่าวอีกนัยหนึ่ง

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + (เค²เค+1) + (เค²เค+3) + … + (เค²-เค−1) = ((เค²-เค)/2)²-

เหลือเพียงสิ่งเดียวที่ต้องพิสูจน์ นั่นคือ (เค²-เค)/2 เท่ากับผลรวมของค่าแรกเคตัวเลขธรรมชาติ โชคดีที่มันค่อนข้างง่าย มันเป็นคำจำกัดความของจำนวนสามเหลี่ยม (หรือถ้าคุณต้องการ คุณสามารถทำได้ด้วยสายตา:

ไม่ว่าคุณจะพิสูจน์มันอย่างไรก็ตามไม่ได้โกหก: ผลรวมของ (nคิวบ์) เท่ากับ (ผลรวมของn) กำลังสอง และตอนนี้ก็เป็นเวลาที่ดีพอๆ กับการชื่นชมผลลัพธ์เล็กๆ น้อยๆ ที่ดีนี้ ตั้งแต่ปี 2025 ได้พิสูจน์ให้เห็นแล้วอย่างสมบูรณ์แบบ สวัสดีปีใหม่!