双重突破，数学家帮助解决两个长期难题

罗格斯大学新不伦瑞克分校的一位教授致力于解开高等数学的奥秘，他解决了困扰数学家数十年的两个独立的基本问题。

这些长期存在的问题的解决方案可以进一步增强我们对自然和科学中结构和物体的对称性的理解，以及对化学、物理、工程、计算机科学和经济学等领域中出现的各种随机过程的长期行为的理解。

罗格斯大学文理学院数学系约书亚·巴拉兹 (Joshua Barlaz) 杰出数学教授范铁普 (Pham Tiep) 完成了对 1977 年去世的著名德裔美国数学家理查德·布劳尔 (Richard Brauer) 提出的 1955 年高度零猜想的证明。

该猜想的证明（通常被视为有限群表示论数学领域中最突出的挑战之一）是发表在数学年鉴。

“猜想是你认为具有一定有效性的想法，”Tiep 说，他在职业生涯的大部分时间里都在思考布劳尔问题，并在过去 10 年里集中精力研究这个问题。 “但猜想必须得到证实。我本来希望能够推进这个领域，没想到能够解决这个问题。”

从某种意义上说，蒂普和他的同事一直在遵循布劳尔在 1950-60 年代提出并发表的一系列数学猜想中为他们制定的挑战蓝图。

“一些数学家拥有这种罕见的智力，”蒂普谈到布劳尔时说道。 “就好像他们来自另一个星球或另一个世界。他们能够看到其他人看不到的隐藏现象。”

在第二个进展中，蒂普解决了所谓的德利涅-卢斯蒂格理论中的一个难题，该理论是表示论基础机制的一部分。这一突破涉及迹线，这是称为矩阵的矩形阵列的一个重要特征。矩阵的迹是其对角线元素之和。两篇论文详细介绍了这项工作。一个是发表在数学发现， 这第二在数学年鉴。

杰出教授兼数学系系主任斯蒂芬·米勒 (Stephen Miller) 表示：“蒂普在有限群方面的高质量工作和专业知识使罗格斯大学能够保持其作为该学科世界顶级中心的地位。”

“20 世纪数学的伟大成就之一是对所谓但可能具有误导性命名的‘简单’有限群进行分类，它是罗格斯大学的同义词？它是从这里开始的，许多最有趣的例子都是在这里发现的通过他出色的工作，Tiep 为我们部门带来了国际知名度。”

见解来自蒂普说，这可能会大大增强数学家对痕迹的理解。他补充说，该解决方案还提供了可能导致数学中其他重要问题取得突破的见解，包括佛罗里达大学数学家约翰·汤普森和以色列数学家亚历山大·卢博茨基提出的猜想。

这两项突破都是有限群表示论（代数的一个子集）领域的进步。表示论是许多数学领域（包括数论和代数几何）以及物理科学（包括粒子物理学）的重要工具。通过表示论也被称为群，它也被用来研究分子的对称性、加密消息和生成纠错码。

遵循表示论的原理，数学家采用欧几里得几何中存在的抽象形状（其中一些非常复杂）并将它们转换为数字数组。这可以通过识别每个三维或更高维形状中存在的某些点并将它们转换为放置在行和列中的数字来实现。

蒂普说，相反的操作也必须起作用。人们需要能够根据数字序列重建形状。

与许多经常使用复杂设备来推进工作的物理科学同事不同，Tiep 表示，他只使用笔和纸来进行研究，迄今为止已出版了五本书，并在领先的数学期刊上发表了 200 多篇论文。 。

他记下数学公式或表明逻辑链的句子。当同事们一步步进行证明时，他还与同事进行持续的对话（当面或通过 Zoom）。

但蒂普说，进步可以来自内心的反思，想法会在他最意想不到的时候突然涌现。

“也许我正在和我们的孩子一起散步，或者和我的妻子一起做园艺，或者只是在厨房做点什么，”他说。 “我的妻子说她总是知道我什么时候在思考数学。”

在第一个证明中，Tiep 与德国凯泽斯劳滕工业大学的 Gunter Malle、西班牙瓦伦西亚大学的 Gabriel Navarro 以及 Tiep 的前研究生、现在丹佛大学的 Amanda Schaeffer Fry 合作。

对于第二个突破，Tiep 与南加州大学的 Robert Guralnick 和印第安纳大学的 Michael Larsen 合作。 Tiep 与 Guralnick 和 Larsen 合作撰写了两篇解决迹上数学问题的论文中的第一篇。 Tiep 和 Larsen 是第二篇论文的共同作者。

米勒说：“蒂普和合著者已经获得了踪迹的界限，这与我们期望的一样好。” “这是一个成熟的学科，从很多角度来看都很重要，所以进展很困难？而且应用程序很多。”