近 40 年来，一个简单的小假设一直静静地坐在图论的角落里，自顾自地干着自己的事。这被称为“双层床猜想”，它似乎总是不言而喻的正确——当然，没有人能做到证明它，但它是有道理的——当然，没有人找到反例。
到目前为止。令几乎所有人惊讶的是，一群数学家上个月宣布了一篇论文，他们声称证明了这个猜想是错误的。目前该论文已在 arXiv 预印本服务器上发表，因此尚未经过同行评审，但它已经在数学界引起了轰动——不仅是因为证明本身，而且因为它对数学作为一门学科的阐述。
猜想
由物理学家 Pieter Kasteleyn 首先提出1985年给一位同事，双层床猜想确实与床完全无关。相反，它涉及图表 - 除非您是一名工作数学家，否则可能不是您现在正在考虑的那种图表。
“图由一堆顶点和一堆连接顶点的边组成，”维多利亚大学数学与统计系助理教学教授 Trefor Bazett 在一篇论文中解释道。最近的 YouTube 视频关于证明。
具有六个顶点和八个边的图。
图片来源：IFLScience
“也许你可以想象，，”他建议道，“然后关系就是你们是否是朋友。”
将此图精确地加倍，您可以创建所谓的双层图：两个相同的图彼此叠置，通过“柱子”连接。你看，一旦你亲自看到它，你就会明白所有的主题术语。
同样的图表也形成了双层床。那些粉红色的顶点称为床柱。
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所以，我们有我们的设置——我们人与人之间的友谊，或者地图上由街道连接的位置，或者任何你想象的图表所代表的东西。现在我们只考虑如何在图表本身中移动 - 所以，假设你想从点开始你指向v在上图中，我们有以下选项：
四种潜在路线（并非详尽无遗！）你到v以红色突出显示。
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到目前为止我们还在一起吗？太好了，因为这就是事情变得更复杂的地方。我们现在要做的是删除一些边缘——失去朋友；封锁街道，无论你喜欢什么——看看我们仍然可以从中得到什么你到v之后。
因此，有了所有这些背景，我们现在可以得到双层猜想的陈述，如下：磷(你↔v) ≥磷(你↔v'）。
“它说我可以从你到v– 也就是说，我可以沿着基地移动的概率 – 大于或等于我可以从基地开始然后到达的概率v'[……]在上铺，”巴泽特解释道。
“该猜想表明，这对于所有连通图、所有床柱子集以及所有对你和v”。
直观上，这是有道理的：当然，到达与起点相同水平的终点比需要您爬上床柱更容易。尝试几个例子只会增强这种信念——除非你愿意构建一个具有几千个顶点和边的图。
证明
通常，在数学中，反驳一个假设比证明它更容易。毕竟，为了证明某件事，你必须证明它在所有情况下的每一个可能的例子中都是正确的——反驳它，你只需要找到一个反例。
双层床猜想的问题是——好吧，没有人在寻找那个反例。 “如果这个猜想显然是正确的，为什么还要寻找反例呢？”加州大学洛杉矶分校 (UCLA) 数学教授、这篇新论文的作者之一伊戈尔·帕克 (Igor Pak) 在一篇文章中写道博客文章论突破。
“好吧，因为你总是应该这样做，”他反驳道。 “对于任何推测。尤其是如果其他人都是这样的话当然，如完全绝对确定毫无疑问，证明这个猜想是正确的。”
现在，已经是2020年代了；你知道，帕克也是如此。 “我们从无数的计算机实验开始，尝试所有的小图，”他写道。 “当这些失败时，我们尝试使用人工智能和其他计算机辅助工具。”
即便如此，似乎还没有出现反例——团队开始担心，即使出现了，也不足以完全反驳这一猜想。神经网络采样的图形在那时非常大，以至于计算相关概率确切地这是不可能的，因此任何证明最多只能有 99.9999% 的确定是正确的。
但是，尽管“99.99% 的置信度 [...] 可能是核物理的黄金标准，”Pak 写道，“数学期刊往往更喜欢 100% 的正确性。”
“大多数期刊甚至会拒绝考虑一个'五西格玛反例’，”他补充道。
因此，团队并没有坚持使用没有成果的机器学习技术——即使成功，其结果也可能不会被接受——而是退后了一步。然后，今年 6 月，纸arXiv 改变了一切。
“我在晚上找到了它，一直读到凌晨 3 点，”帕克的研究生之一、该论文的合著者尼基塔·格拉德科夫 (Nikita Gladkov) 说道。广达。 “我当时想，‘哇，这太疯狂了。绝对令人难以置信。”
这并不完全是双层猜想的证明，但它很接近——一种陈述的表述，涉及称为超图的对象，而不是图。作者为剑桥大学研究生成就卓著的谷歌学家劳伦斯·霍洛姆（Lawrence Hollom）证明，在这些物体中，双层床猜想是……错误的。
霍洛姆提出他的工作是为了尝试概括双层猜想——或者，事实证明，是为了表明它无法被概括。但最终，正是他的论文激发了最初猜想的证明。
通过转换霍洛姆的超图，该团队创建了一个可能反驳双层猜想的图。这绝对是巨大的——7,222 个顶点，由 14,442 条边连接——而且相关概率的差异非常小：“小得天文数字，”Pak 写道，“约为 -10-6500”。
“但它是负面的，这正是我们所需要的，”他补充道。这个猜想被官方证实是错误的。
结果
那么，除了显而易见的事情之外，这还意味着什么呢？嗯，有一些令人失望的地方，特别是对于应用数学家和物理学家来说：如果双层猜想被证明是正确的，它将验证人们广泛相信的关于流体如何穿过固体的假设，并为研究渗滤物理学的研究人员提供依据。
但更重要的是，这一突破还带来了道德影响。未来的数学家是否应该更愿意接受概率证明？它们同样有效或完整吗？
“这是一个哲学问题，”普林斯顿大学数学教授诺加·阿隆 (Noga Alon) 告诉广达。 “我们如何看待只有高概率为真的证明？”
“也许概率证明会让你对真正发生的事情缺乏理解或直觉，”他说。
最后，这是对数学家的警告，不要仅仅因为他们喜欢某个猜想就接受它。 “我们必须保持怀疑，即使是对于直觉上看起来很可能是真的事情，”阿隆说。
这是朴槿惠长期以来所倡导的一种观点。他告诉广达：“有些猜想是出于实质原因，而另一些猜想则是出于一厢情愿的想法。”
双层床猜想似乎是后者。
该论文尚未经过同行评审，可以在arXiv。
