最初定義為圓的周長與其直徑之間的比率，——寫成希臘字母π——出現在整個數學中，包括與化學、物理科學和醫學等領域完全無關的領域。
Pi 屬於一個稱為無理數的巨大數學群，它永遠存在並且不能寫成分數。科學家們計算出 pi，儘管我們大多數人都更熟悉近似值 3.14。但我們怎麼知道 pi 是一個無理數呢？
“理性是顯式訪問數字的實用屬性，即無需任何近似......因此能夠以有限數量的符號寫入數字，”瓦迪姆·祖迪林荷蘭拉德堡德大學的數學家告訴《生活科學》雜誌。
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然而，實際上證明你不能將 pi 寫成分數是一個令人驚訝的棘手問題。解釋說，沒有通用的方法來證明特定數字是無理數，因此他們必須為每種情況開發不同的證明基思·康拉德，康涅狄格大學數學家。 “你怎麼知道一個數不是分數？”他說。 “你正試圖驗證一個負屬性。”
儘管存在這樣的困難，在過去的 300 年裡，數學家們利用數學領域的技術，建立了 pi 無理數的不同證明。這些論證中的每一個都以 pi 是有理數這一假設開始，並以方程的形式寫出。通過一系列的操作和關於這個方程中未知值的性質，隨後很明顯數學與這個原始斷言相矛盾，從而得出 pi 一定是無理數的結論。
所涉及的具體數學通常非常複雜，通常需要對微積分、三角學和無窮級數有大學水平的理解。然而，每種方法都依賴於反證法的中心思想。
”有使用微積分和三角函數的證明，”康拉德說。“在其中一些例子中，π被選為 sin(x) = 0 的第一個正解。蘭伯特在 1760 年代的第一個證明使用了一種稱為無限連分數的數學——它是一種無限嵌套的分數。
然而，除了直接證明 pi 是無理數之外，還可以使用數字的不同屬性來確認無理數。 Pi 屬於另一個稱為超越數的數值組，它不是代數，而且重要的是不能寫成多項式方程的根。因為每個超越數都是無理數，所以任何證明 pi 是超越數的證明也證明 pi 是無理數。
“使用複數微積分，你可以證明 π 是超越的，”康拉德說。 “證明使用了非常著名的方程，稱為歐拉恆等式：eπ+1 = 0。 ”
儘管圓周率的普遍重要性可能源於這種無形的非理性，但七位或八位小數通常足以滿足任何現實世界的應用。甚至pi 的計算。
“我們出於實際目的估算了該值，3.1415926 - 這已經是很多信息了！”祖迪林說道。 “但當然在數學中，這並不令人滿意。我們關心數字的性質。”
