50多年後，數學的“沙發問題”可能終於得到解決

在數學世界中，有兩件事始終成立：首先，一些最頑固和最複雜的問題往往在現實世界中有著令人驚訝的應用；其次，對於那些實際上花費所有時間的人來說在在現實世界中，這些問題似乎……嗯，。

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以“沙發問題”為例：這個難題幾十年來一直困擾著數學家，而且幾乎所有搬過家的人都“解決”了這一難題。這是一個關於如何將弧形沙發移動到 90 度角的問題 - 是的，就像那一集一樣朋友們你們現在都在引用。

移動的數學

從技術上來說，沙發的問題是這個：在寬度為 1 的走廊中，可圍繞直角移動的最大面積區域是多少？最早被正式表述為1966年由奧地利裔加拿大數學家利奧·莫澤 (Leo Moser) 提出——儘管在此之前，這個問題多年來一直是圍繞數學飲水機的討論話題——但直到現在，還從未得到最終解決。

現在，您會注意到，此表述中沒有提及同名長椅，實際上，作為解決方案建議的第一件“家具”實際上是一架“鋼琴”。儘管如此，“沙發”這個術語很快就流行起來，主要是因為——好吧，看看它：

正是對下限的確定催生了標誌性的沙發形狀：在 1968 年的一篇論文中，我們沒有騙你，論“現代數學”和學校和大學中類似的軟知識垃圾對數學技能的削弱約翰·哈默斯利 (John Hammersley) 通過一些相對簡單的微積分錶明，該形狀的面積為 (π/2) + (2/π) – 大約為 2.2074。

事實上，他走得更遠。在同一篇論文中，他證明了該面積的上限由 2√2 給出——大約為 2.8284。雖然只過了幾年，但沙發問題已經有了解決方案：確切的數字尚未確定，但數學家知道它必須在這兩個值之間。找到真正的答案肯定不需要做更多的工作嗎？

然而，25 年過去了，哈默斯利的彈跳仍然是我們最好的。直到羅格斯大學數學家 Joseph Gerver 站出來，提供了一張由 18 塊材料製成的沙發連接的曲線部分。眾所周知的“Gerver 沙發”將下限提高至 2.2195。

又過了四分之一個世紀，可能的解決方案的範圍才會進一步縮小：2018年，數學家 Yoav Kallus 和 Dan Romik 使用計算機輔助證明將上限降低至 2.37。

這對哈默斯利最初的界限來說是一個很大的改進——但這個精確的解決方案仍然無法被捕獲。

白克在比賽中

大約在卡勒斯和羅米克研究解決方案的同時，韓國首爾延世大學的博士後研究員 Jineon Baek 第一次開始思考沙發問題。現在，七年後，他認為他已經在尚未經過同行評審的證明中破解了這個問題。

“我為此投入了大量時間，但到目前為止還沒有發表任何文章，”他告訴新科學家。 “現在我可以向世界說，我為這個問題做出了一些有價值的貢獻，這一事實正在得到證實。”

對於一個如此容易陳述和想像的問題，白的證明並不是一件容易的事。它橫跨 100 多頁，它的作用遠遠不只是簡單地暴力解決問題或不斷地削減更小的區域。相反，羅米克告訴《新科學家》，這是一個“奇妙的發展”。

“我知道我永遠不可能做到這一點，”羅米克說。 “我沒有後悔的感覺，或者說，我怎麼能錯過這個，因為很明顯，這不是我認為我能夠做到的那種想法。[Baek] 只是從一個完全不同的方向來考慮。”

無需深入討論細節，證明是這樣的：首先，Baek 說，最佳沙發，無論結果是什麼，都必須具有三個特定屬性 - 它必須是單調的、平衡的，並且具有 π/2 的旋轉角度。同樣，這些定義是相當技術性的，但本質上可以歸結為：到目前為止我們使用的“沙發”已經幾乎是正確的形狀了。

其次，Baek 開始證明這張沙發如何移動到拐角處的條件——雖然是一件小事，但對於完成最後一步至關重要：定義這張沙發麵積的上限，然後證明它等於 Gerver 的下限。

沒錯：32 年後，事實證明 Gerver 一直都是對的。

“我當然對這一切感到非常高興，”格弗告訴《新科學家》。 “我已經75歲了，而白不可能超過30歲。他比我有更多的精力、耐力和存活的腦細胞，我很高興他接過了接力棒。我也很高興我活得足夠長，可以看到他完成我開始的事情。”

把腳抬起來

那麼，沙發問題現在解決了嗎？嗯，從技術上講，這還有待觀察。與所有數學證明一樣，它需要經過同行評審以確保准確性——Baek 對此暗暗抱有希望。

“我不能說我百分百有信心，因為我們是人類，我們會犯錯誤，”他告訴新科學家。 “但是，我還是盡了最大努力讓自己變得自信。”

但如果您自己解決沙發問題的希望因這個消息而破滅，請放心：既然 Baek 如此嚴格地定義了他的沙發，您隨時可以為自己選擇不同的形狀。

當然，它可能不太適合你的客廳沙發，但你可能會說，沒有什麼能阻止你去……白去畫板。

證據可以找到在 ArXiv 預印本服務器上。