近 40 年來，一個簡單的小假設一直靜靜地坐在圖論的角落裡，自顧自地做著自己的事。這被稱為“雙層床猜想”，它似乎總是不言而喻的正確——當然，沒有人能做到證明它，但它是有道理的——當然，沒有人找到反例。
到目前為止。令幾乎所有人驚訝的是，一群數學家上個月宣布了一篇論文，他們聲稱證明了這個猜想是錯的。目前該論文已在 arXiv 預印本伺服器上發表，因此尚未經過同行評審，但它已經在數學界引起了轟動——不僅是因為證明本身，而且因為它對數學作為一門學科的闡述。
猜想
由物理學家 Pieter Kasteleyn 首先提出1985年給一位同事，雙層床猜想確實與床完全無關。相反，它涉及圖表 - 除非您是工作數學家，否則可能不是您現在正在考慮的那種圖表。
「圖由一堆頂點和一堆連接頂點的邊組成，」維多利亞大學數學與統計系助理教學教授 Trefor Bazett 在一篇論文中解釋道。最近的 YouTube 影片關於證明。
具有六個頂點和八個邊的圖。
圖片來源：IFLScience
「也許你可以想像，，」他建議道，“然後關係就是你們是否是朋友。
將此圖精確地加倍，您可以創建所謂的雙層圖：兩個相同的圖彼此疊置，透過「柱子」連接。你看，一旦你親自看到它，你就會明白所有的主題術語。
同樣的圖表也形成了雙層床。那些粉紅色的頂點稱為床柱。
圖片來源：IFLScience
所以，我們有我們的設定──我們人與人之間的友誼，或是地圖上由街道連接的位置，或是任何你想像的圖表所代表的東西。現在我們只考慮如何在圖表本身中移動 - 所以，假設你想從點開始你指向v在上圖中，我們有以下選項：
四種潛在路線（並非詳盡無遺！）你到v以紅色突出顯示。
圖片來源：IFLScience
到目前為止我們還在一起嗎？太好了，因為這就是事情變得更複雜的地方。我們現在要做的是刪除一些邊緣──失去朋友；封鎖街道，無論你喜歡什麼——看看我們仍然可以從中得到什麼你到v之後。
因此，有了所有這些背景，我們現在可以得到雙層猜想的陳述，如下：磷(你↔v) ≥磷(你↔v'）。
「它說我可以從你到v– 也就是說，我可以沿著基地移動的機率 – 大於或等於我可以從基地開始然後到達的機率v'〔……〕在上鋪，」巴澤特解釋。
「該猜想表明，這對於所有連通圖、所有床柱子集以及所有對你和v」。
直觀上，這是有道理的：當然，到達與起點相同水平的終點比需要您爬上床柱更容易。嘗試幾個例子只會增強這種信念——除非你願意建立一個有數千個頂點和邊的圖。
證明
通常，在數學中，反駁一個假設比證明它更容易。畢竟，為了證明某件事，你必須證明它在所有情況下的每一個可能的例子中都是正確的——反駁它，你只需要找到一個反例。
雙層床猜想的問題是──好吧，沒有人在找那個反例。 “如果這個猜測顯然是正確的，為什麼還要尋找反例？”加州大學洛杉磯分校 (UCLA) 數學教授、這篇新論文的作者之一伊戈爾·帕克 (Igor Pak) 在一篇文章中寫道部落格文章論突破。
「好吧，因為你總是應該這樣做，」他反駁道。 「對於任何推測。尤其是如果其他人都是這樣的話當然，如完全絕對確定毫無疑問，證明這個猜想是正確的。
現在，已經是2020年代了；你知道，帕克也是如此。 「我們從無數的電腦實驗開始，嘗試所有的小圖，」他寫道。 “當這些失敗時，我們嘗試使用人工智慧和其他電腦輔助工具。”
即便如此，似乎還沒有出現反例——團隊開始擔心，即使出現了，也不足以完全反駁這個猜想。神經網路採樣的圖形在那時非常大，以至於計算相關機率確切地這是不可能的，因此任何證明最多只能有 99.9999% 的確定是正確的。
但是，儘管“99.99% 的置信度 [...] 可能是核物理的黃金標準，”Pak 寫道，“數學期刊往往更喜歡 100% 的正確性。”
「大多數期刊甚至會拒絕考慮一個'五西格瑪反例’，」他補充道。
因此，團隊並沒有堅持使用沒有成果的機器學習技術——即使成功，結果也可能不會被接受——而是退後了一步。然後，今年 6 月，紙arXiv 改變了一切。
「我在晚上找到了它，一直讀到凌晨 3 點，」帕克的研究生之一、論文的合著者尼基塔·格拉德科夫 (Nikita Gladkov) 說道。廣達。 「我當時想，『哇，這太瘋狂了。絕對令人難以置信。
這並不完全是雙層猜想的證明，但它很接近——一種陳述的表述，涉及稱為超圖的對象，而不是圖。作者為劍橋大學研究生成就卓著的谷歌學家勞倫斯·霍洛姆（Lawrence Hollom）證明，在這些物體中，雙層床猜想是…錯誤的。
霍洛姆提出他的工作是為了嘗試概括雙層猜想——或者，事實證明，是為了表明它無法被概括。但最終，正是他的論文激發了最初猜想的證明。
透過轉換霍洛姆的超圖，團隊創建了一個可能反駁雙層猜想的圖。這絕對是巨大的——7,222 個頂點，由 14,442 條邊連接——而且相關機率的差異非常小：「小得天文數字，」Pak 寫道，「約為 -10-6500」。
「但它是負面的，這正是我們所需要的，」他補充道。這個猜想被官方證實是錯的。
結果
那麼，除了顯而易見的事情之外，這還意味著什麼呢？嗯，有一些令人失望的地方，特別是對於應用數學家和物理學家來說：如果雙層猜想被證明是正確的，它將驗證人們廣泛相信的關於流體如何穿過固體的假設，並為研究滲濾物理學的研究人員提供依據。
但更重要的是，這項突破也帶來了道德影響。未來的數學家是否應該更願意接受機率證明？它們同樣有效或完整嗎？
「這是一個哲學問題，」普林斯頓大學數學教授 Noga Alon 告訴廣達。 “我們如何看待只有高機率為真的證明？”
「也許機率證明會讓你對真正發生的事情缺乏理解或直覺，」他說。
最後，這是對數學家的警告，不要因為他們喜歡某個猜想就接受它。 「我們必須保持懷疑，即使是對於直覺上看起來很可能是真的事情，」阿隆說。
這是朴槿惠長期以來所倡導的一種觀點。他告訴廣達：“有些猜想是出於實質原因，而另一些猜想則是出於一廂情願的想法。”
雙層床猜想似乎是後者。
該論文尚未經過同行評審，可以在arXiv。
