向任何隨機的人詢問分形的例子，您可以期待一些答案。第一個顯然是「你是誰？別再問我數學問題了，女士，這是溫迪」。不過，第二個很可能是這樣的：
它被稱為曼德爾布羅特（Mandelbrot）——或更準確地說，曼德爾布羅特（Mandelbröt）集，它可能是世界上最著名的數學作品之一。這部分歸功於它迷幻的視覺效果——但僅僅關注這一點就意味著忽視它是如何被發現的重要故事。
那麼實際上呢是曼德布羅特集？它是從哪裡來的？
什麼是分形？
曼德布羅特集的核心是分形– 所以讓我們確保我們理解這意味著什麼。
定義分形有兩種方法：一種很容易理解的模糊方法，另一種不容易理解的數學嚴格方法。
「很難準確地定義它們，」當時擔任紐卡斯爾大學數學與物理科學學院博士生的邁克爾·羅斯 (Michael Rose) 解釋道。2012年的一篇文章對於《對話》，“儘管大多數都由一組四個常見的分形特徵聯繫在一起：無限複雜性、縮放對稱性、簡單性和分數維的複雜性。”
換句話說，分形是由非常簡單的規則所產生的複雜形狀；無論你「放大」多遠，它永遠不會比它開始時更簡單或更順利；其維度位於兩個整數之間的某處， 喜歡這。
它們幾乎沒有被嚴格的數學定義所包含，但簡單的描述是這個：它們「很漂亮，非常難，而且越來越有用。這就是分形。
對於這兩種解釋，我們或許比任何人都更要感謝一個人：伯努瓦‧曼德爾布羅特 (Benoît Mandelbröt)。
伯努瓦·曼德布羅特是誰？
伯努瓦·B·曼德爾布羅特 (Benoît B Mandelbröt) 1924 年出生於波蘭華沙，名字令人難以置信——「B」代表不存在的中間名——對於分形幾何的故事是如此重要，以至於他幾乎以自己的名字命名了這個領域。
內森·科恩 (Nathan Cohen) 在 2015 年出版的書中寫道：“伯努瓦是一位文藝復興時期的人，他創造了文藝復興時期。”伯努瓦·曼德布羅特：多維度的生活。
「曼德布羅特可以『看到』重要數學問題的答案……定義整個幾何領域——分形幾何，」科恩寫道。 「然後，為了強調這一點，他命令——他看到– 分形是這自然的幾何學。他非常清楚地看到了這一點。請注意缺少“a”或“其中之一”。他對這種解釋毫無疑問。
考慮到曼德布羅特今天作為數學家的名氣以及他對自然之美的關注，他可能不是你在日常生活中想像的那樣——他實際上是一隻代碼猴子，在IBM 位於紐約州的約克敦高地研究中心工作約克。這是故意的：早在50 年代和60 年代，擔任這樣的職位讓曼德爾布羅特有更多的自由來追求他感興趣的龐大的、明顯不同的研究主題，而不是追隨一些超具體的學術專案.
「我意識到與現實世界的奧秘隔絕的數學不適合我，所以我走了一條不同的道路，」他後來在回憶錄中寫道，分形主義者：科學特立獨行者的回憶錄。他說，他對「曾經為詩人和兒童保留的問題」更感興趣。
因此，正是在 20 世紀 70 年代的 IBM，Mandelbröt 重新發現了他在 21 歲的時候第一次看到的一篇論文：有理函數迭代的記憶，加斯頓朱莉婭。
第一個分形
曼德布羅特可能是與分形相關的最著名的名字，但他並不是第一個發現分形的人。事實上，對於一個在世界各地如此普遍的概念來說，分形的發現實際上是一個漫長而艱苦的過程，每一項新的發展有時都要在之前的工作幾十年後才得以實現。
長期以來，分形的問題在於第一步：留下可微性。直觀地說，如果一個函數的圖形看起來……嗯，如果它看起來漂亮且平滑，真的，那麼它就是「可微分的」——沒有尖銳的位，或中斷，或中途飛向無窮大。
「直到 19 世紀，數學只專注於產生可微曲線的函數，」當時聖安德魯斯大學的純數學家 Holly Trochet 解釋道，2009年。 「然而，1872 年 7 月 18 日，Karl Weierstrass 在普魯士皇家科學院發表了一篇論文，展示了 [...] 第一個經過嚴格證明的可解析但不可微分函數的示例。”
看看這個函數的圖表，你也許就能明白為什麼人們在此之前一直避免這種事情：它是混亂的、尖銳的，而且似乎是不可預測的。特羅切特寫道，它「抵制傳統分析」；這種類型的函數“被查爾斯·埃爾米特（Charles Hermite）貼上‘怪物’的標籤，並且[……]在很大程度上被當代數學界忽視了。”
但一旦大壩被沖垮，世界在分形中游泳只是時間問題。 1883 年，喬治·康托 (Georg Cantor) 提出了他的康托集（Cantor set）——當時這個詞還沒有被創造出來，但後來被認為是數學中最早定義的分形之一。幾十年後，赫爾格·馮·科赫（Helge von Koch）仍在重複維爾斯特拉斯（Weierstrass）的思想，創造了科赫曲線和雪花——還有分形，但他也不會這麼認為。
康托集可視化為一組放大的線。
然而，在 1910 年代末，分形幾何領域的三位巨頭出現了——沒有他們，曼德布羅特只是一個特別古怪的 IBM 傢伙。首先是菲利克斯·豪斯多夫(Felix Hausdorff)，他於1918 年引入了豪斯多夫維數的概念——沒有這個概念，我們就無法實現分形定義中的“非整數維數”部分。其次，是一對鼻子相隔的法國數學家：皮埃爾·法圖（Pierre Fatou）和加斯頓·朱莉婭（Gaston Julia）——正是這位朱莉婭，她的論文後來啟發了曼德爾布羅特。
從茱莉亞到曼德布羅特
那麼為什麼這兩個法國人如此有影響力呢？好吧，可以公平地說，如果沒有他們——尤其是朱莉婭——就不會有曼德爾布羅特集。
那麼，茱莉亞到底做了什麼？嗯，他發明了茱莉亞集。鬆散地定義，它是一組點，無論您重複應用某個函數多少次，它們都不會射向無窮大。這本身聽起來並不是那麼有趣——一組要點不做一些奇怪的事情——這可能是為什麼這個想法長期以來一直默默無聞的原因。
但快進到電腦時代，茱莉亞套裝……嗯，它變得非常特別。
「借助電腦圖形學，曼德爾布羅特[...] 能夠展示朱莉婭的工作如何成為當今已知的一些最美麗的分形的來源，」聖大學純數學家約翰·奧康納和埃德蒙·羅伯森寫道。1999年。 “要做到這一點，他不僅必須開發新的數學思想，而且還必須開發一些最早的計算機程式來打印圖形。”
朱莉婭套裝。
但這是另一個靈感的火花，催生了標誌性的曼德布羅特套裝：而不是專注於價值觀z在那次迭代中，他決定繪製價值觀cJulia 為其設定了函數fc(z)=z2+c是相互關聯的──也就是說，所有的事情都是一件大事。
結果：Mandelbrot 集。
「對許多人來說，曼德布羅特集是典型的分形，」特羅切特寫道。 “當放大邊緣的某些部分時，人們會注意到曼德爾布羅特集確實是自相似的。”
但如果沒有他之前的人，這是不可能的。甚至以他的名字命名的分形圖案也是從 Julia 集合創建的：事實上，關注 Mandelbröt 集合的任何邊界點，它就是功能上與 Julia 集相同。
「雖然分形幾何的發展主要歸功於伯努瓦·曼德爾布羅特，但在他之前的一個世紀裡，許多其他數學家也為他的工作奠定了基礎，」特羅切特寫道。 “然而，這絲毫不影響他的遠見成就。”
