臭名昭著的數學難題的罕見突破意味著您的聚會變得更加高效

在組合數學首次提出近一個世紀後，數學家們在組合數學中最困難的問題之一上取得了突破——這個令人費解的數學領域負責諸如以下概念：比宇宙還大的數字和完全獨特的洗牌方式。

正如任何數學家都可以告訴你的那樣，沒有任何一方像組合論政黨那樣，因為組合論政黨涉及數十年的艱苦研究和星際間的生存威脅。 為了證明這一點，只需看看拉姆齊數問題——這個問題傳統上與社交有關，歷史上最多產的數學家之一保羅·埃爾多斯（Paul Erdős）曾警告說，如果某些人在數學上特別擅長的話，這將意味著人類的終點。

「假設外星人入侵地球並威脅要在一年內消滅地球，除非人類能夠找到紅五和藍五的拉姆齊數，」他據報道說的問題。

「我們可以匯集世界上最優秀的人才和最快的計算機，一年之內我們就可以計算出其價值。 然而，如果外星人索要紅六和藍六的拉姆齊數，我們就別無選擇，只能先發製人。

聽起來很可怕——但這個可能危及地球的問題到底是什麼？ 最簡單的解釋方法是用一個簡單的例子。

想像一下，您正在舉辦一場混音活動，並且您希望確保彼此認識的客人和陌生人之間保持良好的平衡。 您需要邀請的最少人數是多少，以確保至少有一組三人彼此認識或都是陌生人？

這個問題的答案被稱為 3 的拉姆齊數——或者如果你想迂腐一點，就像數學家經常做的那樣，它被稱為右(3,3)。 弄清楚它可能聽起來是一個非常簡單的任務 - 在這種情況下，它實際上是：答案是六。

但照原樣常有這樣的情況在組合數學中，事情很快就會失控：對四個朋友或四個陌生人嘗試同樣的問題，你需要邀請 18 個人； 五人一組嘗試一下，你將嘗試解決數學家尚未成功解決的問題。

這是因為，到那時，「可能性太多了，你甚至無法用暴力破解它，」馬塞洛·坎波斯(Marcelo Campos) 是這一新突破的共同作者，他是純粹與應用數學研究所(IMPA) 博士論文的一部分。生活科學。 相反，我們能做的最好的事情就是提出解決方案的上限和下限：五的拉姆齊數是肯定在 43 到 49 之間，但目前我們不能說更多。

這就引出了一個自然的問題：對於某個任意值的拉姆齊數的上限和下限，我們能說些什麼——比如說，k？ 不管你相信與否，近 90 年前就已經找到了這個問題的答案，但這並不是一個特別好的答案：感謝 Paul Erdős 和 George Szekeres，我們知道右（克、克) 最多為 4^k。

有總比沒有好，但數量也不是很大：例如，它使拉姆齊數 4 的上限達到了高達 256，而不是我們所知道的實際值 18。 但自從 1935 年（拉姆齊數首次被發現僅七年後）證明了這個上限以來，就沒有人能夠對其進行改進。

到目前為止。

加州理工學院專門研究組合學的數學教授 David Conlon 表示：“至少在過去的 50 年裡，我所在領域的每一位傑出人士都付出了相當大的努力來改善這些界限，但都失敗了。”新科學家。 “事實上，[坎波斯和他的同事]現在已經改進了這一結果，這是一件大事。”

現在，在我們向您展示確切的結果之前，我們應該警告您：如果您自己沒有深入研究組合學，那麼這一突破不會看起來非常令人印象深刻。 這是因為坎波斯和他的團隊已經成功證明了右（克、克) 不是 4^k，但約 3.993^k– 從表面上看，我們承認這種差異看起來平淡無奇。

但請相信我們，對於那些將自己的職業生涯奉獻給此類問題的人來說，這是一件非常重要的事情。

「這是一個極其困難的問題，」聖安德魯斯大學數學教授彼得·卡梅倫（Peter Cameron）告訴《新科學家》雜誌，他和康倫一樣沒有參與這篇新論文。 “像這樣的微小改進代表了攻擊技術的巨大突破。”

雖然拉姆齊數在現實世界中沒有具體的應用，但即使在純數學領域之外，其結果也是令人興奮的。 這可能是過去 75 年來拉姆齊數研究的第一個重大突破，但過去幾十年的研究遠非毫無成果。 例如，Campos 告訴《Live Science》，在 20 世紀 80 年代，數學家用一個名為「擬隨機性」的概念探索了拉姆齊理論——現在這個概念已經被應用跨越一個範圍的科學學科。

即使您只是為了數學，這也可能是一些令人驚奇的事情的開始。 如果這篇論文經得起審查——就目前情況而言，它還沒有經過同行評審，但已經受到了該領域人士的審查——坎波斯認為上限進一步提高只是時間問題。

「我不認為 3.99 實際上會成為終點，」他告訴 Live Science。

該論文可在arXiv。