如果純數學能教給我們什麼的話，那就是：有時候，你的特殊興趣可能會改變世界。
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為了約書亞號而王宏，那個特別感興趣的就是掛谷猜想。 “我在本科時讀過一本書，名叫諧波分析全景不列顛哥倫比亞大學數學系副教授扎爾說，“我在那本書中讀到了這一點，並且真的被它吸引了，並且想要了解更多……這就是我的興趣真正開始的地方。”
快進到今天，Zahl 和 Wang 現在是尚未經過同行評審的證明的共同作者預示著庫朗研究所數學系主任埃亞爾·盧貝茨基 (Eyal Lubetzky) 評價道，“這是 21 世紀最頂尖的數學成就之一”，王是該研究所的數學副教授。
這一切都始於一個關於針的腦筋急轉彎。
猜想的開始
數學中有一個奇特的真理：一個問題在紙上看起來越簡單，結果往往就越難。拿例如：簡短而甜蜜，足以在頁邊空白處潦草寫下，但一個證明花了 350 多年的時間以及多個新數學領域的發展才找到。
掛谷猜想雖然沒有那麼極端，但也是類似的。這可以追溯到 1917 年，當時日本數學家 Sōichi Kakeya 提出了以下難題：給定一根單位長度的無限細針，當它向各個可能的方向旋轉時，可以掃出的最小空間是多少？
在一個維度上，這個問題是微不足道的：針無法從其初始位置移動，因此問題要么已經解決，要么無法解決，具體取決於視角。但到了兩個人，事情就已經復雜得多了。
在二維空間中滿足“在所有可能的方向上旋轉”標準的一個明顯方法是簡單地將針旋轉一圈，但所得的面積相對較大。掛谷自己提出的一個更好的解決方案是，在針旋轉的同時繞一圈移動，形成一個被稱為三角肌的內吸三角形。
藍色：損壞。紅色：定制。
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這個形狀的面積要小得多——事實上，正好是我們第一次嘗試的圓形面積的一半。但事實證明我們可以做得比這好得多：1919 年，俄羅斯數學家 Abram Besicovitch表明，憑藉一些數學獨創性和大量必要的花招，實際上可以用零措施。
由此產生的形狀——所謂的掛屋集——“具有非常違反直覺的特性。你可以說病態的“屬性”扎爾說，“我的意思是，即使拋開猜想，當你第一次讀到掛屋套裝時，如果你天生好奇，你也會非常感興趣。”
“我想也許結果本身並不重要，重要的是，這是世界上許多人了解掛谷套裝是什麼的藉口，”他告訴 IFLScience。
維度問題
儘管貝西科維奇的結果並不直觀，但有一件事是不可否認的：你不可能得到比零小得多的值。那麼，一百多年過去了，為什麼我們還在談論掛谷猜想呢？
貝西科維奇可能已經證明這些形狀可以佔據零空間，但是 –借用一句話來自菲爾茲獎得主、長期掛谷猜想追逐者陶哲軒的一句話——“並非所有零測度組都是平等的。”
從 20 世紀 70 年代開始，隨著羅伊·戴維斯的作品從此，數學家們開始從新的角度考慮這個問題。也許需要一種不同的方式來思考尺寸，而不是測量無限細的針掃過的空間量：他們問，方面這些卡亞集是？
乍一看，這個問題似乎微不足道。它是三維空間中的形狀，因此它具有第三維度。正確的？
“這似乎非常直觀，”麻省理工學院克勞德·香農數學教授拉里·古斯（Larry Guth）和另一位經驗豐富的掛谷猜想家，告訴新科學家上星期。 “看起來這一定是真的，但事實證明很難證明。”
那麼，數學家在談論掛谷猜想時所指的並不是掛谷最初的陳述：這些掛谷集應該與它們所居住的空間具有相同的維度。
這是一次微妙的重構，但影響巨大。新提出的問題不再是一種小眾的好奇心，而是與數學的其他領域有著深刻的聯繫：“可以說，人們對調和分析非常感興趣，”扎爾告訴 IFLScience，其中一些“與傅里葉變換的行為有關，還有一些與某些偏微分方程的某些解的行為有關的相關問題。”
解決掛谷猜想，你就打破了第一個殼俄羅斯套娃調和分析中的關鍵問題。扎爾解釋說，這些問題“都是緊密相連的”。 “據我所知，這種聯繫是由查爾斯·費弗曼 (Charles Fefferman) 首次發現的——好吧，報紙出版於 1971 年，也就是 60 年代末、70 年代初。 ”
平面、顆粒以及它們所揭示的一切
有了這個新的動機，人們對掛谷猜想的興趣日益濃厚，但似乎還沒有明確的證據出現。然而，1995 年，數學家托馬斯·沃爾夫 (Thomas Wolff) 取得了突破：“他證明了除其他外，每個掛屋設置在[維度]三都具有豪斯多夫維度至少五分之一，”Zahl 解釋道。
對於一個非數學家來說，這樣的說法聽起來可能令人困惑，甚至是徹頭徹尾的荒謬——但分數維或無理維數實際上在數學中並不是什麼新鮮事。他們是一個，而且其形狀像掛屋套裝一樣怪異且不直觀，因此它們再次出現也就不足為奇了。
“是的，有些時候我們非常想……這真的可能是兩個半了，”扎爾告訴 IFLScience。 “有過一些懷疑的時刻。”
這就是我們正在處理的問題，除了漸近。
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儘管如此，他們還是有充分的理由相信這個猜想。1999年，Tao 與合作者 Nets Katz 和 Izabella Łaba 一起將尺寸測量值提高了一點——從 2.5 一直到 2.500000001。客觀地說，這並沒有太大區別，但這並不是真正的重點：界限已經被跨越——任何解決未來問題的人現在都有一個可以參考的路線圖。
“你這樣做的方式是，你說，好吧，想像一下敵人給了你一些特別糟糕的集合——我們可以想像，這可能是猜想的反例——然後我們通過少量的‘增量’來加厚它，”扎爾解釋道。他說，現在我們可以將掛屋套裝視為由“生意大利麵條”製成，而不是無限細線的集合； “它們的長度為一，但很細，而且可以相互重疊。”
對於基於意大利麵條的類比來說，這樣的集合被數學家稱為“顆粒狀”——並且它是掛谷猜想的任何反例的必要屬性。放大重疊區域，你會發現另一個這樣的特性：“早在 2005 年就被證明的是，如果這個物體確實是猜想的反例，那麼穿過一個特定點的管子必須幾乎都在一個公共平面上，”扎爾告訴 IFLScience。 “它們都必須大致共面。”
只剩下一處財產需要考慮了。
一個棘手的問題
Kakeya 集的反例應該是“顆粒狀”和“平面狀”，這是公認的——但最初提出這些先決條件的 Tai、Łaba 和 Katz 提出了清單上的第三項：粘性。
對於掛谷學者來說，這個術語有一個特殊的含義：“粘性”集合是指指向附近方向的線段也必須彼此靠近的集合。具有諷刺意味的是，這是最狡猾的標準，十多年來一直逃避證明——直到 2022 年，Zahl 和 Wang 出人意料地證明了這一點相反。他們證明，一個粘性的掛屋在三維空間中設置，必須具有豪斯多夫和明可夫斯基的三維空間——因此遵守了這個猜想。
這是一個非常重要的突破，但還不足以完全證明這個猜想。接下來，兩人需要檢查顆粒狀、平面狀但不粘性的案例，比較它們在不同尺度上的特性，並希望能夠建立一個矛盾。
“這項工作的大部分工作都來自於試圖理解該定理的反例的結構特性，”扎爾告訴 IFLScience。 “如果你能找到足夠的這些結構特性以及它們之間的相互關係，那麼也許最終[……]你可以證明[反例]不存在。”
三年後，用了幾百頁的各種校樣，工作完成了。
百年一遇
隨著 Wang 和 Zahl 的論文上傳到 arXiv 預印本服務器，國際數學界掀起了一股興奮的浪潮。濤寫了關於它的在他的博客上；卡茨稱讚它被稱為“百年一遇的結果”。
庫朗研究所 (Courant Institute) 教授吉多·德·菲利普斯 (Guido De Philippis) 在一篇論文中表示，這篇論文“是一篇精彩的數學論文”。陳述。 “[它]經過多年的進步，增強了我們對複雜幾何的理解，並將其提升到了一個新的水平。”
“我期待他們的想法將在未來幾年帶來一系列令人興奮的突破，”他繼續說道。 “這一結果不僅是幾何測度理論的重大突破，而且還開啟了調和分析、數論以及計算機科學和密碼學應用領域一系列令人興奮的發展。”
這樣的讚揚還為時過早嗎？畢竟，結果在技術上尚未經過同行評審，但“需要明確的是，我們並不嚴重擔心我們證明的正確性，”扎爾說。這並不是傲慢：完成事情后，他們將其發送給幾乎所有他們能想到的可能能夠發現其中錯誤的人，而結果卻是乾淨的。
他告訴 IFLScience：“我們希望在我們將其公開之前，有盡可能多的人簽署。” “有了這些事情，你需要有很多偏執，認為你犯了一個錯誤，你不想讓自己興奮，直到你確定你已經做到了。”
該論文可以在arXiv 預印本服務器。
