如果純數學可以教給我們任何東西，那就是這樣：偶爾，您的特殊興趣可能會改變世界。
為了約書亞號碼和洪王，這是卡基亞的猜想。 “我讀了一本在本科的書諧波分析的全景”，不列顛哥倫比亞大學數學系的副教授Zahl說：“我在那本書中讀到了這一點，並真正接受了這本書，並想了解更多[…]這就是興趣的真正開始。”
快進到今天，Zahl和Wang現在是尚未審視的證明的合著者預示著由王研究所數學系主任Eyal Lubetzky撰寫，Wang是數學副教授，是“ 21世紀最重要的數學成就之一”。
這一切始於一個針對針的布雷特員。
猜想的開始
這是數學的奇特真理，即問題在紙上看起來更容易，通常情況就越難。拿，例如：簡短而甜美，足以在邊距上塗抹，但是證明了350多年的發展，並且開發了多個新的數學領域。
Kakeya的猜想是相似的，即使不是那麼極端。它可以追溯到1917年，當時日本數學家sōichikakeya提出了以下難題：鑑於單位長度無限薄的針，當將其旋轉到各個方向時，您可以掃除它的最小空間是多少？
在一個維度上，問題是微不足道的：針無法從其初始位置移動，因此，根據視角，問題已經解決或無法解決。但是在兩個中，事情已經變得更加複雜了。
在二維中滿足“旋轉各個方向”標準的一種明顯的方法是簡單地將針旋轉成一個圓圈 - 但所得區域相對較大。 Kakeya本人提出的一個更好的解決方案是在旋轉時將針移動到一個圓圈，形成一個被吸入的三角形形狀，稱為三角肌。
藍色：破產。紅色：定制。
這種形狀的區域要小得多，實際上是我們圓形嘗試的一半。但是事實證明，我們可以做得比這更好，要好得多：在1919年，俄羅斯數學家艾布拉姆·貝西科維奇（Abram Besicovitch）表明了這一點，具有一定的數學獨創性和很多需要的罰款，實際上可以用零措施。
所謂的Kakeya套裝 - 您可以說非常違反直覺病理Zahl說：“我的意思是，即使是猜想，您第一次閱讀了Kakeya套裝，如果您自然好奇，您會很感興趣。”
他告訴iflscience：“我想結果本身也不重要，這是世界上許多人學習卡基亞套裝的藉口。”
維度問題
就像Besicovitch的結果一樣，不可否認的是不可否認的：您不能比零小得多。因此，超過100年後，我們為什麼還要談論Kakeya的猜想？
besicovitch可能表明這些形狀可能佔用零空間，但是 - 借用措辭從田野獎章和長期Kakeya猜想的追逐者Terence Tao中 - “並非所有的量度零都相等。”
從1970年代開始，羅伊·戴維斯的工作，數學家開始從新的角度考慮這個問題。與其測量無限薄的針頭掃除的空間數量，也許需要另一種關於大小的思維方式：他們問，什麼是什麼？方面這些kaya套件是？
乍一看，這個問題似乎很容易。這是三維空間中的形狀，Ergo具有三個尺寸。正確的？
“這似乎非常直觀，” MIT的Claude Shannon數學教授Larry Guth和另一位老將Kakeya猜想家，告訴新科學家上星期。 “似乎一定是真的，但是事實證明這很難證明。”
因此，數學家在談論Kakeya猜想時所說的是，而不是Kakeya的原始陳述：這些Kakeya套裝應該具有與他們所居住的空間相同的想法。
這是一個微妙的重新標記，並具有巨大的影響。現在，新陳述的問題不是利基的智力好奇心，而是與其他數學的其他領域建立了深厚的聯繫：“例如，有一個人們對諧波分析非常感興趣的問題循環，” Zahl告訴Iflscience - 一些“與傅立葉變換的行為有關，以及有關某些部分偏差公式的某些解決方案的相關問題有關的問題”。
解決Kakeya的猜想，然後將第一個外殼打破馬r諧波分析中的關鍵問題。 Zahl解釋說，問題“都緊密相連”。 “據我所知，這種聯繫最初是由查爾斯·費弗曼（Charles Fefferman）在 - 嗯，嗯，紙於1971年出版，於60年代末，70年代初出版。”
飛機，穀物及其所有揭示
有了這種新的動力，對卡基亞猜想的興趣蓬勃發展 - 但似乎沒有明確的證據。然而，在1995年，數學家托馬斯·沃爾夫（Thomas Wolff）取得了突破：“”他證明了，除其他外，每個Kakeya都設置在[維度]三個中的三個尺寸完全五半。” Zahl解釋說。
對於非數學家來說，這種說法聽起來會令人困惑，即使不是徹頭徹尾的荒謬，但是分數或非理性的維度實際上並不是什麼新鮮事物。他們是，形狀像Kakeya套裝一樣怪異和不直覺，發現它們再次出現並不奇怪。
“是的，在某些時候，我們非常喜歡[…]確實可能是兩個半，” Zahl告訴Iflscience。 “有懷疑的時刻。”
這就是我們要處理的，除了漸近。
儘管如此，他們還是有充分的理由相信猜想。1999年Tao，以及Collaborators Nets Katz和Izabella olaba，將維度測量稍微提高了一點 - 從2.5到2.500000001。客觀地說，這並不是什麼大不了的，但這並不是真正的重點：邊界已經越過了 - 任何解決問題的人現在都有一個路線圖可以工作。
Zahl解釋說：“您說的是，您說的是，想像一下敵人給您一些特別糟糕的場景 - 也許是猜想的典範，我們可以想像 - 我們通過少量的“ Delta”來使它變稠。”他說。 “它們的長度很長，但是它們很薄，並且可以彼此重疊。”
對於基於意大利麵條的類比，數學家稱為“顆粒狀”，這是一個合適的類比，這是Kakeya猜想的任何反例的必要特性。放大重疊區域，您會發現另一個這樣的質量：“大約2005年證明的是，如果這個對象確實是猜想的反典範，那麼穿過一個特定點的試管幾乎必須在公共平面上，” Zahl告訴IFLSCIEICE。 “他們都必須大致是共面的。”
還有另外一個財產要考慮。
一個棘手的問題
Kakeya套件的反例子應該是“顆粒狀”和“平面”，但最初提議這些先決條件的Tao，olaba和Katz在清單上有第三個項目：粘性。
對於Kakeya學者來說，該術語具有特殊的含義：“粘性”集是在附近方向上點的線段也必須彼此接近的線段。具有諷刺意味相反。他們證明，在三個維度上設置的粘性Kakeya必須具有Hausdorff和Minkowski維度三，從而遵守了猜想。
這是一個非常重要的突破 - 但這還不足以完全證明猜想。接下來，這對夫婦需要檢查顆粒狀的，平面但不粘的案例，比較它們在各種尺度上的特性，並希望建立矛盾。
Zahl告訴Iflscience：“很多工作都是為了了解定理的相反示例的結構屬性。” “而且，如果您能找到足夠的這些結構屬性及其之間的關係，那麼最終也許[…]您可以證明[反例]不存在。”
三年零幾百頁的各種證明後，工作完成了。
一個世紀以來
隨著Wang和Zahl的論文上傳到Arxiv Preprint服務器上，一波興奮的浪潮貫穿了國際數學社區。陶寫了它在他的博客上；卡茨稱讚它作為“一個世紀的結果”。
Courant Institute的教授Guido de Philippis說，“這是一件很棒的數學”陳述。 “它遵循多年的進步，增進了我們對複雜幾何形狀的理解，並將其提升到了一個新的水平。”
他繼續說：“我希望他們的想法將在未來幾年帶來一系列令人興奮的突破。” “這一結果不僅是幾何測量理論中的一個重大突破，而且還為諧波分析，數字理論以及計算機科學和加密技術的應用開闢了一系列令人興奮的發展。”
如此讚美為時過早嗎？畢竟，從技術上講，結果尚未進行同行評審 - 但是“要明確，我們對證明的正確性並不嚴重，” Zahl說。那不是傲慢的：完成了這件事後，他們將其發送給了幾乎所有可以想到的人可能會發現錯誤的人 - 它又回來了。
他告訴iflscience：“我們希望他們中的盡可能多的東西在公開之前簽字。” “有了這些東西[…]，您需要有很多偏執狂才犯了一個錯誤[…]您不想讓自己興奮，直到您確定自己做到了。”
可以在ARXIV預印服務器。
