ความน่าจะเป็นร่วม: คำจำกัดความสูตรและตัวอย่าง

ความน่าจะเป็นร่วมคืออะไร?

คำว่าความน่าจะเป็นร่วมหมายถึงการวัดทางสถิติที่คำนวณความน่าจะเป็นของสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันและในเวลาเดียวกัน กล่าวง่ายๆคือความน่าจะเป็นร่วมกันคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในเวลาเดียวกันกับเหตุการณ์ที่ X เกิดขึ้น เพื่อให้มีความน่าจะเป็นร่วมกันในการทำงานเหตุการณ์ทั้งสองจะต้องเป็นอิสระจากกันซึ่งหมายความว่าพวกเขาไม่ได้มีเงื่อนไขหรือไม่พึ่งพาซึ่งกันและกัน ความน่าจะเป็นร่วมสามารถมองเห็นได้โดยใช้ไดอะแกรมเวนน์

สูตรและการคำนวณความน่าจะเป็นร่วม

สัญกรณ์สำหรับความน่าจะเป็นร่วมสามารถใช้รูปแบบที่แตกต่างกันสองสามอย่าง สูตรต่อไปนี้แสดงถึงความน่าจะเป็นของการแยกเหตุการณ์:

$\ เริ่มต้น {จัดตำแหน่ง} & p \ \ left (x \ bigcap y \ ขวา) \\ & \ textbf {โดยที่:} \\ & x, y = \ text {สองเหตุการณ์ที่แตกต่างกัน$​P -xy-ที่ไหน:x-y-สองเหตุการณ์ที่แตกต่างกันที่ตัดกันP-xและy--P-xy--ความน่าจะเป็นร่วมของ X และ Y​

ความน่าจะเป็นร่วมบอกอะไรคุณ?

ความน่าจะเป็นคือสนามที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดสถิติที่เกี่ยวข้องกับโอกาสของเหตุการณ์หรือปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้น มันเป็นปริมาณเป็นตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 โดยที่ 0 หมายถึงโอกาสที่เป็นไปไม่ได้ของการเกิดขึ้นและ 1 หมายถึงผลลัพธ์ที่แน่นอนของเหตุการณ์

ตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นในการวาดการ์ดสีแดงจากสำรับไพ่คือ 1/2 = 0.5 ซึ่งหมายความว่ามีโอกาสเท่าเทียมกันในการวาดการ์ดสีแดงและสีดำเนื่องจากมี 26 ตัวในสำรับ ดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็น 50-50 ในการวาดการ์ดสีแดงเมื่อเทียบกับการ์ดสีดำ

ความน่าจะเป็นร่วมกันวัดเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน สามารถนำไปใช้กับสถานการณ์ที่การสังเกตมากกว่าหนึ่งครั้งสามารถเกิดขึ้นได้ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นร่วมกันของการเลือกการ์ดที่มีทั้งสีแดงและ 6 จากดาดฟ้าคือ P (6 ∩แดง) = 2/52 = 1/26 เนื่องจากสำรับไพ่มีสองสีแดงหก - หกหัวใจและหกเพชร เนื่องจากเหตุการณ์สีแดงและ 6 เป็นอิสระคุณยังสามารถใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นร่วม:

$p (6 \ cap สีแดง) = p (6) \ times p (สีแดง) = 4/52 \ times 26/52 = 1/26$P-6อีกครั้งd--P-6-P-อีกครั้งd--4/5226/52-1/26

สัญลักษณ์“ ∩” ในความน่าจะเป็นร่วมกันเรียกว่าสี่แยก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ X และเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือสิ่งเดียวกับจุดที่ X และ Y ตัดกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นร่วมกันจึงเรียกว่าจุดตัดของสองเหตุการณ์ขึ้นไป อันแผนภูมิเพื่อนอาจเป็นเครื่องมือภาพที่ดีที่สุดในการอธิบายสี่แยก:

จาก Venn ด้านบนจุดที่วงกลมทั้งสองซ้อนทับกันคือสี่แยกซึ่งมีสองข้อสังเกตคือหัวใจหกหัวใจและเพชรหกตัว

ความน่าจะเป็นร่วมกับความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข

ความน่าจะเป็นร่วมไม่ควรสับสนความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขซึ่งเป็นความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นเนื่องจากการกระทำหรือเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น สูตรความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขมีดังนี้:

$p (x, ให้ ~ y) \ text {หรือ} p (x | y)$P-x-กฉันVอีn y-หรือP-xy-

นี่คือการบอกว่าโอกาสของเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้นนั้นมีเงื่อนไขในเหตุการณ์อื่นที่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่นจากสำรับไพ่ความน่าจะเป็นที่คุณได้รับหกเนื่องจากคุณดึงการ์ดสีแดงคือ P (6│red) = 2/26 = 1/13 เนื่องจากมีการ์ดสีแดง 26 ใบ

ความน่าจะเป็นร่วมกันมีเพียงปัจจัยหนึ่งในความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งสองที่เกิดขึ้น ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขสามารถใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นร่วมดังที่เห็นในสูตรนี้:

$p (x \ cap y) = p (x | y) \ times p (y)$P-xy--P-xy-P-y-

ความน่าจะเป็นที่ A และ B เกิดขึ้นคือความน่าจะเป็นของ X ที่เกิดขึ้นเนื่องจาก y เกิดขึ้นคูณด้วยความน่าจะเป็นที่ y เกิดขึ้น ด้วยสูตรนี้ความน่าจะเป็นของการวาด 6 และสีแดงในเวลาเดียวกันจะเป็นดังนี้:

$\ เริ่มต้น {จัดตำแหน่ง} & p (6 \ cap สีแดง) = p (6 | สีแดง) \ times p (สีแดง) = \\ & 1/13 \ times 26/52 = 1/13 \ Times 1/2 = 1/26 \\ \ end {จัดตำแหน่ง}}$​P-6อีกครั้งd--P-6∣อีกครั้งd-P-อีกครั้งd--1/1326/52-1/131/2-1/26​

นักสถิติและนักวิเคราะห์ใช้ความน่าจะเป็นร่วมเป็นเครื่องมือเมื่อเหตุการณ์ที่สังเกตได้สองเหตุการณ์ขึ้นไปสามารถเกิดขึ้นได้พร้อมกัน ตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นร่วมสามารถใช้ในการประเมินโอกาสของหยดในค่าเฉลี่ยอุตสาหกรรมของ Dow Jones (DJIA)มาพร้อมกับการลดลงของราคาหุ้นของ Microsoft หรือโอกาสที่มูลค่าของน้ำมันจะเพิ่มขึ้นในเวลาเดียวกันดอลลาร์สหรัฐอ่อนตัวลง-

ตัวอย่างความน่าจะเป็นร่วม

ลองเน้นอีกตัวอย่างหนึ่งเพื่อแสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นร่วมกันทำงานอย่างไร ตัวอย่างนี้ใช้ลูกเต๋าและเราต้องการค้นหาว่าความน่าจะเป็นคือคุณจะม้วนสี่ในแต่ละตายเมื่อคุณม้วนพวกเขา โปรดจำไว้ว่ามีหกด้านสำหรับแต่ละคน

เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นร่วมก่อนเราต้องกำหนดความน่าจะเป็นของแต่ละม้วน:

• โอกาสที่จะกลิ้งสามครั้งแรกตายคือ 1/6
• โอกาสที่จะกลิ้งสามในครั้งที่สองตายคือ 1/6
  

ตอนนี้เราสามารถใช้สูตรความน่าจะเป็นร่วมที่ระบุไว้ข้างต้นเพื่อหาว่าความน่าจะเป็นร่วมกันสำหรับเหตุการณ์นี้โดยการคูณแต่ละเหตุการณ์เข้าด้วยกัน

1/6 x 1/6 = 1/36

ซึ่งหมายความว่ามีโอกาส 1/36 ในการกลิ้งสองสี่โดยใช้ลูกเต๋าคู่หนึ่ง

บรรทัดล่าง

ความน่าจะเป็นหมายถึงโอกาสที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น แต่เมื่อมีตัวแปรสองตัวที่เกี่ยวข้องคุณอาจมีความน่าจะเป็นร่วมกัน นี่เป็นมาตรการทางสถิติที่สามารถบอกคุณได้ว่าเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์มีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นในเวลาเดียวกันหรือไม่ มันเป็นตัวชี้วัดที่สำคัญสำหรับนักสถิติที่ใช้เพื่อกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองชุดเช่นผลตอบแทนของสอง บริษัท ที่แตกต่างกันหรือลมแรงและปริมาณน้ำฝนในการพยากรณ์อากาศ แต่สิ่งหนึ่งที่มันไม่ได้ระบุว่าเป็นวิธีที่ทั้งสองมีอิทธิพลซึ่งกันและกัน