การพิสูจน์คณิตศาสตร์ ครั้งหนึ่งในศตวรรษ

หากคณิตศาสตร์บริสุทธิ์สามารถสอนเราได้ทุกอย่างนี่คือสิ่งนี้: บางครั้งความสนใจพิเศษของคุณอาจเปลี่ยนโลก

สำหรับหมายเลขโจชัวและ Hong Wang ความสนใจเป็นพิเศษคือการคาดเดาของ Kakeya “ ฉันอ่านหนังสือในระดับปริญญาตรีชื่อว่าภาพพาโนรามาของการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก” Zahl ศาสตราจารย์ในภาควิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยบริติชโคลัมเบียกล่าว

กรอไปข้างหน้าอย่างรวดเร็วในวันนี้และ Zahl และ Wang เป็นผู้ร่วมเขียนด้วยหลักฐานที่ยังไม่ผ่านการตรวจสอบได้รับการประกาศโดย Eyal Lubetzky ประธานภาควิชาคณิตศาสตร์ที่ Courant Institute ที่ Wang เป็นศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ในฐานะ“ หนึ่งในความสำเร็จทางคณิตศาสตร์ชั้นนำของศตวรรษที่ 21”

และทุกอย่างเริ่มต้นด้วย brianteaser เกี่ยวกับเข็ม

จุดเริ่มต้นของการคาดเดา

มันเป็นความจริงที่แปลกประหลาดของคณิตศาสตร์ว่าปัญหาที่ง่ายขึ้นดูบนกระดาษมากเท่าไหร่มันก็ยิ่งยากที่จะกลายเป็น เอาตัวอย่างเช่น: สั้นและหวานพอที่จะเขียนลวก ๆ ในระยะขอบ แต่การพิสูจน์ใช้เวลานานกว่า 350 ปีและการพัฒนาสาขาคณิตศาสตร์ใหม่หลายสาขาเพื่อค้นหา

การคาดเดาของ Kakeya นั้นคล้ายคลึงกันถ้าไม่มาก มันย้อนกลับไปในปี 1917 เมื่อนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นSōichi Kakeya วางปริศนาต่อไปนี้: ได้รับความยาวหน่วยที่มีความยาวอย่างไม่ จำกัด จำนวนพื้นที่ที่เล็กที่สุดที่คุณสามารถกวาดออกมาได้เมื่อหมุนผ่านทุกทิศทางที่เป็นไปได้?

ในมิติเดียวปัญหานั้นเป็นเรื่องเล็กน้อย: เข็มไม่สามารถย้ายจากสถานที่เริ่มต้นได้ดังนั้นปัญหาจึงได้รับการแก้ไขหรือไม่สามารถแก้ไขได้แล้วขึ้นอยู่กับมุมมอง แต่ในสองสิ่งต่าง ๆ มีความซับซ้อนมากขึ้น

วิธีที่ชัดเจนในการทำตามเกณฑ์“ การหมุนผ่านทุกทิศทางที่เป็นไปได้” ในสองมิติคือการหมุนเข็มเป็นวงกลม - แต่พื้นที่ที่เกิดขึ้นค่อนข้างใหญ่ ทางออกที่ดีกว่าที่เสนอโดย Kakeya เองคือการขยับเข็มไปรอบ ๆ วงกลมในขณะที่มันหมุนได้สร้างรูปสามเหลี่ยมที่ถูกดูดเข้ามาซึ่งเรียกว่า deltoid

พื้นที่ของรูปร่างนี้มีขนาดเล็กลงมาก - ครึ่งหนึ่งของความพยายามครั้งแรกของวงกลมของเราในความเป็นจริง แต่ปรากฎว่าเราสามารถทำได้ดีกว่านั้นมาก: ในปี 1919 นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Abram Besicovitchแสดงให้เห็นว่าด้วยความเฉลียวฉลาดทางคณิตศาสตร์และจำนวนมากที่จำเป็นอย่างยิ่งศูนย์วัด.

รูปร่างที่เกิดขึ้น-ชุด Kakeya ที่เรียกว่า-“ มีคุณสมบัติที่ตอบโต้ได้ง่ายมากเกี่ยวกับพยาธิสภาพคุณสมบัติ” Zahl กล่าวว่า“ ฉันหมายถึงแม้กระทั่งการคาดเดาไว้ - ครั้งแรกที่คุณอ่านเกี่ยวกับชุด Kakeya ถ้าคุณอยากรู้อยากเห็นตามธรรมชาติคุณจะรู้สึกทึ่งมาก”

“ ฉันคิดว่าอาจเป็นผลลัพธ์ที่สำคัญน้อยกว่านี่เป็นข้อแก้ตัวสำหรับหลาย ๆ คนในโลกที่จะเรียนรู้ว่าชุด Kakeya คืออะไร” เขาบอกกับ Iflscience

คำถามเกี่ยวกับมิติ

โดยไม่ได้ผลเช่นเดียวกับผลลัพธ์ของ Besicovitch คือสิ่งหนึ่งที่ปฏิเสธไม่ได้: คุณไม่สามารถเล็กกว่าศูนย์ได้มากนัก ดังนั้นกว่า 100 ปีต่อมาทำไมเรายังพูดถึงการคาดเดาของ Kakeya?

Besicovitch อาจแสดงให้เห็นว่ารูปร่างเหล่านี้อาจใช้พื้นที่เป็นศูนย์ แต่ - ถึงยืมวลีจากผู้ชนะเลิศเหรียญและ Kakeya การคาดเดาเป็นเวลานาน Chaser Terence Tao-“ ไม่ใช่ชุดการวัดทั้งหมดที่สร้างขึ้นเท่ากัน”

เริ่มต้นในปี 1970 ด้วยผลงานของ Roy Daviesนักคณิตศาสตร์เริ่มพิจารณาปัญหาจากมุมมองใหม่ แทนที่จะวัดปริมาณพื้นที่ที่ถูกกวาดด้วยเข็มบาง ๆ ของพวกเขาบางทีอาจเป็นวิธีคิดที่แตกต่างเกี่ยวกับขนาดที่จำเป็น: สิ่งที่พวกเขาถามมิติของชุดเหล่านี้คืออะไร?

เมื่อมองแวบแรกคำถามนั้นอาจดูไม่สำคัญ มันเป็นรูปร่างในพื้นที่สามมิติ Ergo มันมีมิติสาม ขวา?

“ ดูเหมือนว่า [S] ใช้งานง่ายมาก” Larry Guth, Claude Shannon ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ที่ MIT และนักประมวลผล Kakeya ทหารผ่านศึกอีกคนหนึ่ง, บอกนักวิทยาศาสตร์ใหม่สัปดาห์ที่แล้ว “ ดูเหมือนว่ามันจะต้องเป็นจริง แต่แล้วมันก็กลายเป็นเรื่องยากมากที่จะพิสูจน์”

นี่คือสิ่งนี้แทนที่จะเป็นคำสั่งดั้งเดิมของ Kakeya นักคณิตศาสตร์อ้างถึงเมื่อพวกเขาพูดถึงการคาดเดาของ Kakeya: ความคิดที่ว่าชุด Kakeya เหล่านี้ควรมีมิติเดียวกับพื้นที่ที่พวกเขาอาศัยอยู่

มันเป็นการ reframing ที่ละเอียดอ่อนโดยมีผลกระทบที่เกินขนาด มากกว่าความอยากรู้อยากเห็นทางปัญญาเฉพาะปัญหาที่ระบุไว้ในตอนนี้มีการเชื่อมต่ออย่างลึกซึ้งกับส่วนอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์:“ มีสมมติว่าวงกลมของคำถามที่ผู้คนสนใจในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก” Zahl บอกกับ Iflscience - บางคน

แก้ปัญหาการคาดเดาของ Kakeya และคุณทำลายเปลือกแรกในกการมาร์ทเรียของคำถามสำคัญในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ปัญหา“ ทั้งหมดเชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนา” Zahl อธิบาย “ การเชื่อมต่อที่ดีที่สุดที่ฉันรู้ถูกค้นพบครั้งแรกโดย Charles Fefferman ใน - ดีกระดาษได้รับการตีพิมพ์ในปี 1971 ปลายยุค 60 ต้นยุค 70”

เครื่องบินธัญพืชและสิ่งที่พวกเขาเปิดเผย

ด้วยแรงจูงใจใหม่นี้ความสนใจในการคาดเดาของ Kakeya เฟื่องฟู - แต่ไม่มีหลักฐานชัดเจนดูเหมือนจะเกิดขึ้น อย่างไรก็ตามในปี 1995 นักคณิตศาสตร์ Thomas Wolff ทำอะไรบางอย่างที่ก้าวหน้า:“เขาพิสูจน์แล้วท่ามกลางสิ่งอื่น ๆ ที่ Kakeya ทุกคนตั้งอยู่ใน [มิติ] สามมีมิติ Hausdorff แน่นอนห้าครึ่ง” Zahl อธิบาย

สำหรับผู้ที่ไม่ได้รับการดูแลรักษาความสามารถดังกล่าวอาจทำให้เกิดความสับสนหากไม่ใช่เรื่องไร้สาระอย่างจริงจัง-แต่มิติเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผลนั้นไม่มีอะไรใหม่ในคณิตศาสตร์ พวกเขาเป็นและด้วยรูปร่างที่แปลกและไร้สาระเหมือนชุด Kakeya มันจะไม่น่าแปลกใจเลยที่จะพบว่าพวกเขาปลูกพืชอีกครั้ง

“ ใช่มีช่วงเวลาที่เราเป็นเหมือน […] มันอาจจะเป็นสองและครึ่ง” Zahl บอก Iflscience “ มีบางช่วงเวลาที่สงสัย”

ถึงกระนั้นพวกเขาก็มีเหตุผลที่ดีที่จะเชื่อในการคาดเดาในปี 1999เต่าพร้อมกับผู้ทำงานร่วมกัน Nets Katz และ Izabella łabaได้ผลักดันการวัดขนาดขึ้นเล็กน้อย - ตลอดทางจาก 2.5 ถึง 2.500000001 มันไม่ได้มีความแตกต่างมากนักพูดอย่างเป็นกลาง แต่นั่นไม่ใช่ประเด็น: ขอบเขตได้ถูกข้าม - และใครก็ตามที่จัดการกับปัญหาที่กำลังจะไปข้างหน้าในขณะนี้มีแผนงานที่จะทำงาน

“ วิธีที่คุณทำคือคุณพูดว่าโอเคลองนึกภาพศัตรูให้ชุดที่ไม่ดีเป็นพิเศษ - อาจเป็นตัวอย่างของการคาดเดาเราสามารถจินตนาการได้ - และเราก็ข้นมันด้วย 'เดลต้า' จำนวนเล็กน้อยนี้” Zahl อธิบาย แทนที่จะเป็นคอลเล็กชั่นของเส้นบาง ๆ ที่เล็กที่สุดตอนนี้เราสามารถนึกถึงชุด Kakeya ที่ทำจาก“ สปาเก็ตตี้ดิบ” เขากล่าว; “ พวกเขามีความยาวหนึ่ง แต่มันค่อนข้างผอมและพวกเขาสามารถซ้อนทับกัน”

อย่างเหมาะสมสำหรับการเปรียบเทียบสปาเก็ตตี้ชุดเช่นนี้เป็นที่รู้จักกันดีในฐานะนักคณิตศาสตร์ว่าเป็น "เม็ดเล็ก"-และเป็นทรัพย์สินที่จำเป็นสำหรับการคัดค้านการคาดเดาของ Kakeya ซูมเข้าไปในพื้นที่ที่ทับซ้อนกันและคุณพบคุณภาพอีกอย่างหนึ่ง:“ สิ่งที่ได้รับการพิสูจน์แล้วในปี 2005 คือถ้าวัตถุนี้เป็นตัวอย่างที่ตอบโต้การคาดเดาแล้วท่อที่ผ่านจุดหนึ่งทั้งหมดจะต้องอยู่ในระนาบทั่วไป” Zahl บอก Iflscience “ พวกเขาทั้งหมดต้องเป็น Coplanar อย่างคร่าวๆ”

มีทรัพย์สินอีกหนึ่งรายการสำหรับบัญชีสำหรับ

ปัญหาเหนียว

การโต้ตอบกับชุด Kakeya ควรเป็น“ เม็ดเล็ก” และ“ Plany” นั้นได้รับการยอมรับอย่างดี-แต่ Tao, łabaและ Katz ซึ่งเดิมเสนอสิ่งที่จำเป็นต้องมีก่อนเหล่านี้มีรายการที่สามในรายการ: ความเหนียว

สำหรับนักวิชาการ Kakeya คำนั้นมีความหมายเฉพาะ: ชุด "เหนียว" เป็นหนึ่งในกลุ่มบรรทัดที่ชี้ไปในทิศทางใกล้เคียงจะต้องอยู่ใกล้กัน มันเป็นเรื่องน่าขันที่ลื่นที่สุดของเกณฑ์หลบเลี่ยงการพิสูจน์มานานกว่าทศวรรษ - จนกระทั่งในปี 2022 Zahl และ Wang แสดงให้เห็นอย่างไม่คาดคิดตรงกันข้าม- Kakeya เหนียวตั้งอยู่ในสามมิติพวกเขาพิสูจน์แล้วต้องมีมิติ Hausdorff และ Minkowski สาม - ดังนั้นจึงเชื่อฟังการคาดเดา

มันเป็นความก้าวหน้าที่สำคัญอย่างมหาศาล - แต่ก็ไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์การคาดเดาทั้งหมด ถัดไปทั้งคู่จำเป็นต้องตรวจสอบกรณีที่เป็นเม็ดเล็ก, ระนาบ แต่ไม่เหนียวแน่นเปรียบเทียบคุณสมบัติของพวกเขาในระดับต่าง ๆ และหวังว่าจะสร้างความขัดแย้ง

“ งานนี้จำนวนมากมาจากการพยายามทำความเข้าใจคุณสมบัติเชิงโครงสร้างของสิ่งที่ตัวอย่างของทฤษฎีบทจะเป็นอย่างไร” Zahl บอกกับ Iflscience “ และถ้าคุณสามารถค้นหาคุณสมบัติโครงสร้างเหล่านี้ได้มากพอและวิธีที่พวกเขาเกี่ยวข้องกันอยู่ในที่สุดบางทีในที่สุด […] คุณสามารถแสดงให้เห็นว่า [ตัวอย่าง] ไม่สามารถดำรงอยู่ได้”

สามปีและสองร้อยหน้าของการพิสูจน์ต่าง ๆ ในภายหลังงานได้เสร็จสิ้น

ครั้งหนึ่งในศตวรรษ

ด้วยการอัปโหลดกระดาษของ Wang และ Zahl ไปยัง Arxiv Preprint Server คลื่นแห่งความตื่นเต้นที่กระเพื่อมผ่านชุมชนคณิตศาสตร์ระหว่างประเทศ เทาเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบล็อกของเขา; Katzยกย่องมันเป็น“ ผลลัพธ์แบบครั้งหนึ่งในศตวรรษ”

บทความ“ เป็นคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม” Guido de Philippis ศาสตราจารย์ที่ Courant Institute กล่าวในกคำแถลง- “ [มัน] ติดตามความคืบหน้าเป็นเวลาหลายปีซึ่งช่วยเพิ่มความเข้าใจของเราเกี่ยวกับเรขาคณิตที่ซับซ้อนและนำไปสู่ระดับใหม่”

“ ฉันคาดหวังว่าความคิดของพวกเขาจะนำไปสู่การพัฒนาที่น่าตื่นเต้นในอีกไม่กี่ปีข้างหน้า” เขากล่าวต่อ “ ผลลัพธ์นี้ไม่เพียง แต่เป็นการพัฒนาที่สำคัญในทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังเปิดการพัฒนาที่น่าตื่นเต้นในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกทฤษฎีจำนวนและการใช้งานในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และการเข้ารหัส”

การสรรเสริญก่อนวัยอันควรหรือไม่? ท้ายที่สุดแล้วผลลัพธ์ก็ยังไม่ได้ตรวจสอบโดยเพื่อน-แต่“ ชัดเจนเราไม่ได้มีความกังวลอย่างจริงจังเกี่ยวกับความถูกต้องของการพิสูจน์ของเรา” Zahl กล่าว นั่นไม่ใช่ความโอหัง: หลังจากทำสิ่งนั้นเสร็จแล้วพวกเขาก็ส่งมันไปให้ทุกคนที่พวกเขาคิดว่าใครอาจจะพบข้อผิดพลาดในนั้น - และมันกลับมาสะอาด

“ เราต้องการให้พวกเขามากที่สุดเท่าที่จะทำได้เพื่อลงนามก่อนที่เราจะเปิดเผยต่อสาธารณะ” เขาบอกกับ Iflscience “ ด้วยสิ่งเหล่านี้ […] คุณต้องมีความหวาดระแวงมากมายที่คุณทำผิดพลาด […] คุณไม่ต้องการให้ตัวเองตื่นเต้นจนกว่าคุณจะแน่ใจว่าคุณทำมัน”

สามารถอ่านกระดาษได้ในไฟล์เซิร์ฟเวอร์ preprint arxiv-