เป็นความคิดที่ส่งตรงจากสนามโรงเรียน ว่าวันหนึ่งคุณอาจนับเลขสูงโดยไม่ได้ตั้งใจจนคุณฝ่าฝืนกฎแห่งคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การพิมพ์ล่วงหน้าใหม่ (ที่ยังไม่ได้รับการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิ) ดูเหมือนว่าจะทำเช่นนั้นแล้ว และอาจมีการขยายสาขาอย่างมากสำหรับวิธีที่เราควรเข้าใจความไม่มีที่สิ้นสุด
เหมาะสมที่ผลลัพธ์ที่น่าสับสนดังกล่าวน่าจะมาจากทฤษฎีเซต ซึ่งเป็นพื้นที่ที่มีชื่อเสียงว่าเป็นนามธรรมและมักจะขัดกับสัญชาตญาณ มีตัวอักษรและภาษาลึกลับของตัวเอง และมีชื่อเสียงในเรื่องผลลัพธ์ที่ดูเหมือนธรรมดาเกินกว่าจะพิสูจน์ได้ (ดู:) หรือไร้สาระอย่างเห็นได้ชัดจนคุณคิดว่าพวกเขาต้องทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่งระหว่างทาง (ดู:1 + 1 = 1-
ปัญหาคือ เราทำไม่ได้จริงๆ ถ้าไม่มีมัน หัวใจสำคัญของทฤษฎีเซตคือการตามล่าหาหนทางที่จะทำให้คณิตศาสตร์เชื่องได้ตลอดกาล เพื่อค้นหาว่าเราสามารถพิสูจน์อะไรได้บ้าง และสิ่งที่เราสามารถคาดเดาได้เท่านั้น ในการทำเช่นนั้น บางครั้งนักคณิตศาสตร์จำเป็นต้องมองหากรณีล้ำสมัย: ส่วนเล็กๆ น้อยๆ ของคณิตศาสตร์ที่มีสิ่งต่างๆ ใหญ่โต แปลกประหลาด หรือเป็นพื้นฐานจนกฎเกณฑ์ทั้งหมดที่เรายึดถือเริ่มพังทลายลง
น่าเสียดายที่บางครั้งพวกเขาก็ประสบความสำเร็จ
บันไดอันไม่มีที่สิ้นสุด
“อินฟินิตี้” คือและในบางครั้ง- ตัวอย่างเช่น การพูดว่า “อนันต์คือจำนวนจำนวนธรรมชาติที่มีอยู่” นั้นไม่เพียงพอ เพราะหากเป็นเช่นนั้น จะมีจำนวนคู่กี่จำนวน? มีเศษส่วนกี่ตัว? ถ้ารวมจำนวนเท่าไร.เช่นกัน?
คำตอบของทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นก็คือ "อนันต์" เช่นกัน แต่ก็มีขนาดที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองขนาดที่แสดงอยู่ นักคณิตศาสตร์สามารถพิสูจน์ได้ว่าเซตของจำนวนคู่ จำนวนเต็ม และเศษส่วนล้วนมีขนาดเท่ากัน ซึ่งเป็นจำนวนอนันต์ที่เรียกว่า ℵ0(ออกเสียงว่า “อาเลฟ-นัล”) ในทางกลับกัน เซตของจำนวนจริง - นั่นคือเหตุผลทั้งหมดและไร้เหตุผลตัวเลข - ใหญ่กว่ามาก
แต่คำถามที่ใหญ่กว่านั้นคือคำถามที่ผลักดันสิ่งที่เรารู้และสามารถพิสูจน์ได้จนเกินขอบเขตแล้ว ขณะนี้เราอยู่ในโลกของ "พระคาร์ดินัลขนาดใหญ่": ตัวเลข "ใหญ่มากจนไม่มีใครพิสูจน์ได้ว่ามีอยู่จริงโดยใช้สัจพจน์มาตรฐานของคณิตศาสตร์" โจน บากาเรีย หนึ่งในผู้เขียนร่วมสามคนของรายงานฉบับใหม่และนักคณิตศาสตร์ นักตรรกศาสตร์ อธิบาย และตั้งนักทฤษฎีที่ ICREA และมหาวิทยาลัยบาร์เซโลนาในสเปน
มันเป็นความจริงที่เป็นทั้งข้อจำกัดและจุดแข็ง ที่มีอยู่ภายนอก ZFC – อักษรย่อย่อมาจาก “ซีเออร์เมโล-เอฟraenkel บวก สัจพจน์ของคhoice” ซึ่งเป็นกฎขั้นต่ำสองชุดที่สร้างรากฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมดในโลก หมายความว่าการมีอยู่ของพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่ “จะต้องได้รับการสันนิษฐานว่าเป็นสัจพจน์ใหม่” Bagaria กล่าวกับ IFLScience กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันไม่สามารถพิสูจน์ได้ – เพียงแต่ถือว่าเป็นจริงในแบบเดียวกับที่เราถือว่ามันเป็นอย่างนั้นx-x.
แต่ตำแหน่งที่อยู่นอกกฎปกติยังทำให้พระคาร์ดินัลตัวใหญ่เป็นเครื่องมืออันมีค่าในการจัดการกับวิชาคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากกว่า พวกเขา “ทำให้เรามีความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับโครงสร้างและธรรมชาติของ […] จักรวาลทางคณิตศาสตร์” บากาเรียกล่าว “ทฤษฎีเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทใหม่ๆ ได้มากมาย และจึงสามารถตัดสินใจคำถามทางคณิตศาสตร์มากมายที่ไม่อาจตัดสินใจได้โดยใช้เพียงสัจพจน์ ZFC เท่านั้น”
ตัวอย่างเช่น แม้แต่ในโลกที่ไม่มีตัวตนซึ่งเต็มไปด้วยอนันต์ที่พิสูจน์ไม่ได้นี้คำสั่งบางอย่างสามารถรู้สึกได้ - อย่างน้อยก็ในระดับหนึ่ง Bagaria อธิบายว่ามีพระคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ ซึ่งเป็นพระคาร์ดินัลที่เล็กที่สุดในบรรดาพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่ (คำว่า "เล็ก" ในที่นี้จะค่อนข้างรับน้ำหนักได้ ดังที่คุณจะจินตนาการได้) เหนือสิ่งอื่นใด มีพระคาร์ดินัลที่สามารถวัดได้ ในที่สุดเราก็ไปถึงพระคาร์ดินัลที่มีขนาดกะทัดรัด กะทัดรัดเป็นพิเศษ และอาจเรียกได้ว่าเป็นพระคาร์ดินัลที่ "ใหญ่โต" อย่างถ่อมตัว
แต่ไปให้ไกลกว่านี้อีกมาก และแม้แต่การจำแนกประเภทที่ลึกลับเหล่านี้ก็เริ่มพังทลายลง “ในที่สุด พระคาร์ดินัลตัวใหญ่ก็แข็งแกร่งมากจนขัดแย้งกับสัจพจน์แห่งการเลือก” บากาเรียกล่าว “นี่คือโลกของพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่ที่อยู่เหนือทางเลือก ซึ่งแทบจะไม่สามารถยอมรับได้ว่าเป็นความจริง เนื่องจากสัจพจน์แห่งการเลือกเป็นสิ่งจำเป็นในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่”
ยินดีต้อนรับสู่ป่า
อยู่ในลำดับชั้นที่แปลกประหลาดกว่าเดิมที่ตัวเลขใหม่ถูกโยนทิ้งไป ผู้ค้นพบระบุว่าพระคาร์ดินัลที่ “แน่นอนที่สุด” และ “เข้มงวดมาก” พวกเขา “อาศัยอยู่ในบริเวณบนสุดของลำดับชั้นของพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่” บากาเรียอธิบาย “พวกมันเข้ากันได้กับ Axiom of Choice และมีสูตรที่เป็นธรรมชาติมาก จึงสามารถยอมรับได้อย่างง่ายดาย”
จนถึงตอนนี้ สมเหตุสมผลมาก แต่พระคาร์ดินัลองค์ใหม่ยังคงสร้างปัญหาให้กับภาพอนันต์ของนักคณิตศาสตร์บางคน ปัญหาอยู่ที่คุณสมบัติที่เรียกว่า Hereditary Ordinal Definability หรือ "HOD" ซึ่งเป็นแนวคิดที่ว่าเซต แม้จะใหญ่โตเป็นอนันต์ ก็สามารถเข้าใจได้โดยการ "นับขึ้นไป" นั่นเอง
มันเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการโต้เถียงกันไม่รู้จบ และนักคณิตศาสตร์บางคนก็หวังว่ามันจะนำไปใช้ได้โดยทั่วไปมากกว่า ถ้าทั้งหมดหรืออย่างน้อยโดยพื้นฐานแล้วทั้งหมด รวมถึงฉากที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์เหล่านี้ สามารถกำหนดได้ในลักษณะนี้ มันหมายความว่าความวุ่นวายของพระคาร์ดินัลตัวใหญ่นั้นเป็นเพียงการพังทลายมากกว่าที่จะคลี่คลาย ว่าสัจพจน์แห่งการเลือกจะกลายเป็นธรรมอีกครั้งแม้จะอยู่ด้านบนสุดของลำดับชั้นก็ตาม
นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมในช่วงทศวรรษที่ผ่านมา นักทฤษฎีเซตจึงโต้เถียงกับสิ่งที่เรียกว่า "การคาดเดา HOD" โดยพื้นฐานแล้วมันเป็นการทำให้ความปรารถนานั้นเป็นระเบียบ: "การคาดเดาของ HOD บอกเราว่าจักรวาลทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นระเบียบและ 'ใกล้' กับจักรวาลของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดได้" ผู้เขียนร่วมของรายงานฉบับใหม่ Juan Aguilera นักตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีเวียนนา ในออสเตรีย อธิบายให้ IFLScience ฟัง
การแก้ปัญหาการคาดเดาไม่ทางใดก็ทางหนึ่งคงเป็นเรื่องยาก ด้วยความแปลกประหลาดของพระคาร์ดินัลองค์ใหญ่ ในทางทฤษฎีแล้ว การพิสูจน์ความจริงจึงต้องใช้ความพยายามน้อยกว่าเท็จ แต่คำตอบสุดท้ายในทิศทางใดทิศทางหนึ่งกลับยากจะเข้าใจ อย่างไรก็ตาม หลักฐานมีน้อยกว่านั้น: “จนถึงขณะนี้หลายคนคิดว่าการคาดเดาของ HOD อาจเป็นเรื่องจริง” บากาเรียกล่าว “ด้วยหลักฐานที่มาจากงานเกี่ยวกับแบบจำลองภายในที่เป็นที่ยอมรับสำหรับพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่ที่ดำเนินการในช่วงทศวรรษที่ผ่านมา ”
ใน “โมเดลทั้งหมดเหล่านั้น” บากาเรียอธิบาย HOD Conjecture ดูเหมือนจะคงอยู่ แล้วมีอะไรเปลี่ยนแปลงบ้าง?
คำถามที่เข้มงวด
ในพื้นที่ที่กำหนดโดยการขัดกับสัญชาตญาณและจับต้องไม่ได้ พระคาร์ดินัลที่เข้มงวดและเข้มงวดเป็นพิเศษที่นำมาใช้ในการพิมพ์ล่วงหน้าใหม่ยังคงถือว่าแปลกอย่างเห็นได้ชัด
“โดยปกติแล้ว แนวคิดใหญ่ๆ เกี่ยวกับอนันต์ 'สั่งตัวเอง' ในแง่ที่ว่าถึงแม้จะค้นพบพวกมันในบริบทที่ต่างกัน แนวคิดหนึ่งย่อมใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าอันอื่นอย่างชัดเจนเสมอ” อากีเลราบอกเรา “พระคาร์ดินัลที่จริงจังเป็นพิเศษดูเหมือนจะแตกต่างออกไป”
ไม่ใช่แค่ว่าพวกเขาไม่เข้ากับตัวเองนักเท่านั้น แต่ยังทำให้พระคาร์ดินัลที่ประพฤติตัวดีแสดงออกมาด้วยเช่นกัน เขาอธิบาย “พวกมันโต้ตอบกันอย่างประหลาดมากกับแนวคิดเรื่องอนันต์ก่อนหน้านี้” อากีเลราอธิบาย “พวกมันขยายขอบเขตอนันต์อื่นๆ: พระคาร์ดินัลที่ถือว่า 'ใหญ่เล็กน้อย' จะมีพฤติกรรมพอๆ กับอนันต์ที่ใหญ่กว่ามากต่อหน้าพระคาร์ดินัลที่เน้นย้ำเป็นพิเศษ”
เป็นสิ่งที่ยุ่งเหยิงอย่างไม่คาดคิดในสิ่งที่เราคิดว่าเป็นลำดับชั้นที่มีการจัดวางอย่างดี และมีผลกระทบอย่างลึกซึ้งต่อวิธีที่เราอาจจินตนาการถึงความไม่มีที่สิ้นสุดในอนาคต “ในความคิดของฉัน มันแสดงให้เห็นว่ายังมีการแก้ไขบางอย่างที่ต้องทำ” อากีเลรากล่าว “บางทีโครงสร้างของอนันต์อาจซับซ้อนกว่าที่เราคิด และนี่รับประกันว่าจะมีการสำรวจที่ลึกและรอบคอบมากขึ้น”
ยังคงเป็นข่าวร้ายสำหรับการคาดเดาของ HOD หากยอมรับพระคาร์ดินัลที่เข้มงวดและเข้มงวดเป็นพิเศษ ก็เป็นเพียงการกระโดดสั้นๆ เพื่อแสดงให้เห็นว่าการคาดเดาของ HOD นั้นไม่เป็นความจริง ท้ายที่สุดแล้ว ความวุ่นวาย ไม่ใช่คำสั่ง จะเป็นผู้ชนะ
มันไม่ใช่การทำลายล้าง จำไว้ว่า การดำรงอยู่ของพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่เหล่านี้จะต้องนำเสนอผ่านสัจพจน์ แทนที่จะพิสูจน์อย่างเข้มงวด ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้ “ไม่ได้พิสูจน์หักล้างการคาดเดาของ HOD โดยตรง” บากาเรียเตือน “แต่ [พวกเขา] ให้หลักฐานที่ชัดเจนมากเพื่อต่อต้านมัน ซึ่งตรงกันข้ามกับสัญชาตญาณที่มีอยู่”
แต่นี่คือคำถาม: หลังจากหลายปีแห่งความหวังที่ว่าการคาดเดาของ HOD จะมีชัยในที่สุด มันเป็นเรื่องเลวร้ายจริง ๆ หรือไม่? สิ่งที่บากาเรียและเพื่อนร่วมงานค้นพบอาจทำให้สับสนชั่วคราว แต่ยังเปิดโลกใหม่อันอุดมสมบูรณ์ของพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่ด้วยพฤติกรรมและความหมายที่สุกงอมสำหรับการวิจัยใหม่
“เราสามคนและเพื่อนร่วมงานคนอื่นๆ จะยังคงศึกษาพระคาร์ดินัลที่เข้มงวดและเข้มงวดเป็นพิเศษต่อไป” อากีเลราบอกกับ IFLScience “อาจเป็นไปได้ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นเพียงตัวอย่างแรกของความไม่มีที่สิ้นสุดรูปแบบใหม่”
“นี่คือสิ่งที่ต้องชี้แจง” เขากล่าว “บางทีนี่อาจเป็นเพียงจุดเริ่มต้น”
สามารถพิมพ์ล่วงหน้าได้ที่อาร์เอ็กซ์-
