向日葵的種子，仙人掌的脊柱和松果的片，均形成旋轉的螺旋模式。這些自然結構以其規律性和美麗而引人注目，還表現出一些令人驚訝的數學特性。
在植物形成的螺旋形成的90％以上，螺旋的連續元素（例如，莖上的葉子）之間的角度大約是金角。該幾何數量約為137.5°，與著名的“黃金比率”密切相關，最初是由古希臘人研究的。此外，隱藏在許多植物的螺旋中是一種涉及著名的斐波那契數序列的模式，與黃金比率密切相關。涉及金角和斐波那契序列的螺旋模式遍及整個自然世界，就像星系和貝殼一樣不同的物體。
科學家在數百年前的植物生長的螺旋模式中發現了這些數學規律性，從那以後一直困擾著它們。為什麼植物會更喜歡黃金角度而不是其他植物？植物如何了解斐波那契數？
最近，生物學家，數學家，物理學家和計算機科學家開始解釋植物如何以及為什麼要完成數學壯舉。現在，生物學家了解了驅動植物生長模式（稱為Phyllotaxis）的基本生物化學，並且知識已成為該過程的數學和計算機模型。
一些科學家開始解決一個更加困難的問題：為什麼有些植物會表現出奇特的幻影模式？在某些螺旋生長的模式中，連續元素之間的角度不是金角，而是大約99.5°的角度。甚至在單個螺旋形成中，該角度甚至在其中系統變化。隨著植物的生長，某些植物中的螺旋結構從一種模式過渡到另一種模式。
“大自然正在與Phyllotaxis一起玩幾何遊戲，”馬薩諸塞州北安普敦史密斯學院的數學家Pau Atela說：“我們現在開始弄清楚發生了什麼的幾何本質。”
植物做數學嗎？
如果a/b =（a + b）/a，則兩個幅度A和B形成黃金比率。黃金角度本質上是施加到一個圓的黃金比例：兩個圓的半徑形成金角，如果它們將圓將圓分成兩個區域，A和B，其比率為黃金比率。
當植物在某些中心結構周圍露出葉子或種子時，每片種子或葉子都從最後一個葉子上伸開，大約是金角，以順時針和逆時針方向形成互鎖的螺旋臂。順時針臂的數量永遠不會等於逆時針臂的數量；實際上，它們幾乎總是斐波那契序列的兩個連續成員。那就是序列1、1、2、3、5、8、13、21之類的序列，其中每個數字是前兩個的總和。
斐波那契數的出現並不令人驚訝，因為它們與黃金比率有著親密的聯繫。隨著一個沿斐波那契序列進行的，連續數字的比率越來越接近黃金比率。
1837年，晶體學家奧古斯特·布拉維斯（Auguste Bravais）和他的兄弟路易斯（Brote Bravais）利用這種關係證明，在金角螺旋中，順時針和逆時針螺旋臂的數量必須是連續的斐波那契數字。但這並不能解釋為什麼植物首先更喜歡金角和斐波那契數。
研究人員曾經認為這些模式可能通過以某種方式促進植物的生存來提供進化優勢。例如，數學模型表明，金角螺旋形成最多的葉子數量到最小的莖空間，同時還允許每片葉子充分進入光線。
但是，由於植物響應陽光到達陽光的不規則方式而生長和彎曲，因此，金角螺旋的理想包裝不太可能顯著提高吸光的效率。現在，科學家已經相信螺旋植物是生長植物生物化學的副作用。
生長螺旋
1868年，德國植物學家威廉·霍夫梅斯特（Wilhelm Hofmeister）提出，植物發育的機制可能有助於解釋螺旋性浮力。他正在研究植物的增長尖端，這些植物包含尚未獲得特定功能的細胞。這些未成熟的細胞形成稱為原始的微小凸起，最終發展成花朵，葉子或其他植物結構。
霍夫梅斯特（Hofmeister）提出，每個新的原始植物都在生長莖的尖端發展，而距離較舊的原始原則。隨著尖端繼續從其中心生長，原始人被向外推開並形成螺旋模式。近幾十年來，電子顯微鏡圖像增加了支持原始人根據Hofmeister規則安排自己的想法的支持。
1992年，巴黎的L'écoleNormaleSupérieure的物理學家StéphaneDouady和Yves Couder進行了一項引人入勝的實驗，展示了Hofmeister的規則如何解釋螺旋模式。他們讓磁性液體的液滴掉入充滿矽油的盤子中，並沿其外邊緣磁化。磁力將液滴吸引到盤子的邊緣，但使它們互相排斥。
當Douady和Couder緩慢添加液滴時，每個新液滴都會向盤子的側面移動，與先前添加的滴頭直接相反。但是，當他們更快地添加液滴時，兩個最近添加的液滴都會強烈排斥新的液滴。新液滴不會向一側或另一側行進，而是在第三個方向上移動 - 從連接滴頭的著陸點與先前液滴連接的線的金角度。以這種方式添加的一團液滴形成了螺旋模式。
Douady和Couder的結果促進了腓骨研究的研究。他們實驗中的液滴表現得像原始，因為它們對菜邊緣的吸引力與原始尖端上的原始向外行進相對應。但是，哪種生物學機制可以將新的原始原理從較舊的基礎上遠離，就像磁化使液滴相互排斥的方式一樣？
2003年，瑞士伯爾尼大學的生物學家Didier Reinhardt和Cris Kuhlemeier及其合作者發表了一篇論文自然指稱一種稱為生長素為關鍵因素的植物生長激素。
生長的莖不斷產生生長素，只有在生長素的濃度達到臨界值時，才會形成新的原始原位。艾伯塔省卡爾加里大學的計算機科學家Przemyslaw Prusinkiewicz說，一旦原始人開始形成，更多的生長素就“像河流雕刻的河流”流入原始細胞。這種流入不僅刺激了現有原始的生長，而且還耗盡了激素的周圍莖，並抑制了附近新的原始原狀的形成。
生長素在與較舊的原始莖最遠的生長莖上最少耗盡。隨著莖尖的生長素產生的繼續，最遠的位置將是第一個達到臨界閾值以形成新的原始閾值的位置。通過這種方式，萊因哈特（Reinhardt）和庫爾米爾（Kuhlemeier）表明，植物生長的生物化學可以解釋霍夫梅斯特（Hofmeister）的規則，即新的原始原狀與較舊的原始作品最遠。
生長素的作用發現導致研究爆炸，從而揭示了這種增長過程的細節。 Prusinkiewicz曾與Kuhlemeier及其團隊合作，創建了一個計算機模型，該模型演示了激素的動作如何在包括螺旋形的植物中創建最常見的增長模式。該小組於2006年1月31日發布了結果國家科學院論文集。
數學混合
同時，數學家一直在開發自己的模型。他們的情況比Prusinkiewicz差不多，並且在生物學上的精確性要不那麼複雜，但是這種非常簡單的情況使人們對植物生長的令人困惑的模式產生了令人驚訝的見解。
哈佛大學植物學家雅克·杜馬斯（Jacques Dumais）說：“我覺得生物學模型是如此復雜，以至於在此過程中喪失了一些浮腫的美。” “數學模型是如此簡單卻如此強大，它們解釋了我們所看到的很多。我們想要的是，'phyllotaxis的本質是什麼？'”
哈佛數學家斯科特·霍頓（Scott Hotton）基於Douady和Couder的油滴實驗製作了一個模型。該模型顯示了該實驗中的力如何模仿原始運動的運動 - 實際上會產生金角螺旋。
霍頓（Hotton）的作品還為杜迪（Douady）和庫德（Couder）的實驗帶來了令人驚訝的結果，這就是金角螺旋可能會形成的模式。這一發現與觀察到的觀察是，植物有時以大約99.5°的角度產生原始。在這種情況下，每個方向上的螺旋數的數量不是斐波那契序列的成員，而是密切相關的盧卡斯序列的成員。在這兩個系列中，每個數字都是前兩個的總和，但是盧卡斯序列始於1、3、4、7。
霍頓發現了一些更具特殊的可能性。他的模型不是每次都以相同的角度產生原始角度，而是表明某些植物可以在周期中以一系列角度產生原始。他發現了一種模式，其模式為131°，88°，88°，131°，89°，87°，131°，315°，然後重複。
霍頓說：“有趣的是，實際形成的模式與角度相同的模式幾乎無法區分。” “您實際上可以看到對面的螺旋形。
植物學家認為，他們已經看到在這些週期性模式下生長的植物，而杜馬伊斯目前正在努力驗證這些觀察結果。
拋棄金角
Hotton現在正在與Atela和ChristopheGolé（也是史密斯學院的ChristopheGolé）合作，採用了一個更一般和更有力的模型，可以解釋生物學家無法在生物化學上解釋的增長模式。
該團隊首先指出，在有數百種種子（例如向日葵）的花朵中，如此多的原始形成如此之快，以至於許多人必須同時發展。在這種情況下，談論連續原始的角度（無論是格爾登）是沒有意義的。
確實，阿特拉（Atela）和戈萊（Golé）認為，金角並未真正出現在植物的生長模式中。 Atela說：“當您將螺旋晶格疊加在植物頂部並施加一點時，將會出現金角。” “它非常接近，但是有擺動的房間，尤其是當您有很多原始人時。”
Atela，Golé和Hotton用他們稱為“硬幣遊戲”的新模型取代了涉及黃金角度的模型，這使許多Primordia能夠一次發展。他們在一月份在新奧爾良的聯合數學會議上提出了新的結果。
研究人員認為，將幾分錢粘在圓柱體的外表面，以代表莖上的原始。便士必須盡可能靠近圓柱體的底部，但是它們不能重疊。因此，每個新一分錢都進入最低的空置位置，並且可以在多個低點中同時添加多個便士。遊戲的規則是關於霍夫梅斯特觀察到的一種變體，即在最多的空間中，原始形式形成。
以這種方式放置的便士可以形成互鎖螺旋的模式。 Atela，Golé和Hotton表明，在許多情況下，順時針和逆時針螺旋的數量在斐波那契序列中。
但是，硬幣遊戲模型還可以解釋植物中出現的各種更複雜的模式。一個這樣的例子是，隨著植物的生長，螺旋數的數量發生變化。
此外，該模型可能會解決有關螺旋葉的早期發育的難題。當這種植物芽的種子散發出兩個原始的葉子結構180°。隨著它的生長，植物以某種方式過渡到其葉子形成金角螺旋形的模式。由於硬幣遊戲模型從各種初始的便士放置中產生斐波那契螺旋，因此它可能能夠解釋觀察到的植物中螺旋生長的過渡。
數學家承認，新模型的簡單性意味著它與生物學家發現的機制並沒有詳細相關。
高萊說：“我們正在挖掘隧道的一側，而創建詳細的生物模型的研究人員“在隧道的另一側進行挖掘。我們在某些時候需要做的是將其複雜模型與我們的簡單模型相匹配，並證明我們的模型是他們在某種意義上的抽象。 ”
