พีชคณิตเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์และกฎสำหรับการจัดการสัญลักษณ์เหล่านั้น ในพีชคณิตประถมสัญลักษณ์เหล่านั้น (วันนี้เขียนเป็นตัวอักษรละตินและกรีก) แสดงถึงปริมาณที่ไม่มีค่าคงที่เรียกว่าตัวแปร เช่นเดียวกับที่ประโยคอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างคำเฉพาะในพีชคณิตสมการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร นำตัวอย่างต่อไปนี้:
ฉันมีสองสาขาที่รวม 1,800 ตารางหลา ผลผลิตสำหรับแต่ละฟิลด์คือ⅔แกลลอนของเมล็ดข้าวต่อตารางหลาและ½แกลลอนต่อตารางหลา สนามแรกให้มากกว่า 500 แกลลอนมากกว่าที่สอง พื้นที่ของแต่ละสาขาคืออะไร?
มันเป็นความคิดที่เป็นที่นิยมว่าปัญหาดังกล่าวถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อทรมานนักเรียนและสิ่งนี้อาจไม่ไกลจากความจริง ปัญหานี้เกือบจะเขียนได้อย่างแน่นอนเพื่อช่วยให้นักเรียนเข้าใจคณิตศาสตร์ - แต่สิ่งที่พิเศษเกี่ยวกับมันคือเกือบ 4,000 ปี! ตามที่ Jacques Sesiano ใน "การแนะนำประวัติของพีชคณิต"(AMS, 2009) ปัญหานี้ขึ้นอยู่กับแท็บเล็ตดินเหนียวบาบิโลนประมาณ 1800 ปีก่อนคริสตกาล (ภาษีมูลค่าเพิ่ม 8389พิพิธภัณฑ์โบราณตะวันออกใกล้) เนื่องจากรากเหง้าเหล่านี้ในเมโสโปเตเมียโบราณพีชคณิตจึงเป็นศูนย์กลางของความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์เทคโนโลยีและอารยธรรมโดยรวม ภาษาของพีชคณิตมีความหลากหลายอย่างมากในประวัติศาสตร์ของอารยธรรมทั้งหมดเพื่อสืบทอดมัน (รวมถึงของเราเอง) วันนี้เราเขียนปัญหาเช่นนี้:
x + y = 1,800
⅔∙ x - ½∙ y = 500
ตัวอักษร x และ y เป็นตัวแทนของพื้นที่ของทุ่งนา สมการแรกนั้นเข้าใจได้ง่ายๆว่า "การเพิ่มทั้งสองพื้นที่ให้พื้นที่รวม 1,800 ตารางหลา" สมการที่สองนั้นบอบบางมากขึ้น เนื่องจาก X เป็นพื้นที่ของสนามแรกและสนามแรกมีผลผลิตสองในสามของแกลลอนต่อตารางหลา "⅔∙ x"-หมายถึง "สองในสามครั้ง x"-หมายถึงปริมาณทั้งหมดของเมล็ดที่ผลิตโดยสนามแรก ในทำนองเดียวกัน "½∙ y" หมายถึงปริมาณทั้งหมดของเมล็ดข้าวที่ผลิตโดยฟิลด์ที่สอง เนื่องจากฟิลด์แรกให้เมล็ดข้าว 500 แกลลอนมากกว่าที่สองความแตกต่าง (ดังนั้นการลบ) ระหว่างธัญพืชของฟิลด์แรก (⅔∙ x) และธัญพืชของสนามที่สอง (½∙ y) คือ (=) 500 แกลลอน
คำตอบปรากฏออกมา
แน่นอนว่าพลังของพีชคณิตไม่ได้อยู่ในการเข้ารหัสงบเกี่ยวกับโลกทางกายภาพ นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และผู้แต่ง Mark Jason Dominus เขียนไว้ในบล็อกของเขาจักรวาลแห่งวาทกรรม: "ในระยะแรกคุณแปลปัญหาเป็นพีชคณิตจากนั้นในระยะที่สองคุณจะจัดการสัญลักษณ์เกือบจะเป็นกลไกจนกระทั่งคำตอบปรากฏขึ้นราวกับว่าด้วยเวทมนตร์" ในขณะที่กฎการจัดการเหล่านี้เกิดขึ้นจากหลักการทางคณิตศาสตร์ความแปลกใหม่และลักษณะที่ไม่ต่อเนื่องของ "การพลิกข้อเหวี่ยง" หรือ "การเสียบและ chugging" ได้รับการสังเกตจากนักเรียนและมืออาชีพหลายคน
ที่นี่เราจะแก้ปัญหานี้โดยใช้เทคนิคตามที่พวกเขาได้รับการสอนในวันนี้ และในฐานะที่เป็นข้อจำกัดความรับผิดชอบผู้อ่านไม่จำเป็นต้องเข้าใจแต่ละขั้นตอนเฉพาะเพื่อเข้าใจความสำคัญของเทคนิคโดยรวมนี้ มันเป็นความตั้งใจของฉันที่ความสำคัญทางประวัติศาสตร์และความจริงที่ว่าเราสามารถแก้ปัญหาได้โดยไม่ต้องคาดเดาใด ๆ จะเป็นแรงบันดาลใจให้ผู้อ่านที่ไม่มีประสบการณ์เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับขั้นตอนเหล่านี้ในรายละเอียดที่มากขึ้น นี่คือสมการแรกอีกครั้ง:
x + y = 1,800
เราแก้สมการนี้สำหรับ y โดยการลบ x ออกจากแต่ละด้านของสมการ-
y = 1,800 - x
ตอนนี้เรานำสมการที่สอง:
⅔∙ x - ½∙ y = 500
เนื่องจากเราพบ "1,800 - x" เท่ากับ y จึงอาจเป็นที่ใช้แทนในสมการที่สอง:
⅔∙ x - ½∙ (1,800 - x) = 500
ต่อไป,แจกจ่ายค่าลบครึ่งหนึ่ง (–½) ข้ามนิพจน์ "1,800-x"::
⅔∙ x + (–½∙ 1,800) + (–½∙ –x) = 500
นี้ทำให้ง่ายขึ้นถึง:
⅔∙ x - 900 + ½∙ x = 500
เพิ่มสองเศษส่วนของ X เข้าด้วยกันและเพิ่ม 900 ลงไปแต่ละด้านของสมการ-
(7/6) ∙ x = 1,400
ตอนนี้แบ่งออกแต่ละด้านของสมการโดย 7/6:
x = 1,200
ดังนั้นสนามแรกมีพื้นที่ 1,200 ตารางหลา ค่านี้อาจเป็นที่ใช้แทนในสมการแรกเพื่อกำหนด y:
(1,200) + y = 1,800
ลบ 1,200 จากแต่ละด้านของสมการเพื่อแก้ปัญหาสำหรับ y:
y = 600
ดังนั้นสนามที่สองมีพื้นที่ 600 ตารางหลา
สังเกตว่าเราใช้เทคนิคการดำเนินการบ่อยเพียงใดแต่ละด้านของสมการ- การปฏิบัตินี้เป็นที่เข้าใจกันดีที่สุดว่าเป็นการมองเห็นสมการเป็นสเกลที่มีน้ำหนักที่รู้จักกันในด้านหนึ่งและมีน้ำหนักที่ไม่รู้จักในอีกด้านหนึ่ง หากเราเพิ่มหรือลบน้ำหนักเท่ากันจากแต่ละด้านสเกลจะยังคงสมดุล ในทำนองเดียวกันสเกลยังคงมีความสมดุลหากเราคูณหรือแบ่งน้ำหนักเท่า ๆ กัน
ในขณะที่เทคนิคการรักษาสมการที่สมดุลนั้นเกือบจะถูกใช้โดยอารยธรรมทั้งหมดเพื่อพัฒนาพีชคณิตล่วงหน้าโดยใช้มันเพื่อแก้ปัญหาบาบิโลนโบราณนี้ (ดังที่แสดงด้านบน) เป็นเรื่องสมัยเนื่องจากเทคนิคนี้เป็นศูนย์กลางของพีชคณิตในช่วง 1,200 ปีที่ผ่านมา
ก่อนยุคกลาง
การคิดเกี่ยวกับพีชคณิตได้รับการปฏิรูปอย่างมากหลังจากความก้าวหน้าของนักวิชาการยุคทองของอิสลาม จนกระทั่งถึงจุดนี้อารยธรรมที่สืบทอดคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลนฝึกพีชคณิตในการปฏิบัติอย่างละเอียด "วิธีการขั้นตอน" อย่างละเอียด Sesiano อธิบายเพิ่มเติม: "นักเรียนจำเป็นต้องจดจำอัตลักษณ์ [คณิตศาสตร์] จำนวนเล็กน้อยและศิลปะของการแก้ปัญหาเหล่านี้จากนั้นจึงประกอบด้วยการเปลี่ยนปัญหาแต่ละอย่างเป็นรูปแบบมาตรฐานและคำนวณวิธีแก้ปัญหา" (นอกเหนือจากนั้นนักวิชาการจากกรีซโบราณและอินเดียได้ฝึกฝนภาษาสัญลักษณ์เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน)
นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย Aryabhata (โฆษณา 476-550) เขียนหนังสือเล่มแรกที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์เรียกว่า "Aryabhatiya" โดยนักวิชาการสมัยใหม่ (Aryabhata ไม่ได้ตั้งชื่องานของเขาเอง) งานคือ "บทความทางดาราศาสตร์ขนาดเล็กที่เขียนใน 118 ข้อที่ให้บทสรุปของคณิตศาสตร์ฮินดูจนถึงเวลานั้น"มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูสก็อตแลนด์-
นี่คือตัวอย่างของงานเขียนของ Aryabhata ในภาษาสันสกฤต นี่คือข้อ 2.24 "ปริมาณจากความแตกต่างและผลิตภัณฑ์":
ตาม Kripa Shankar Shukla ใน "Aryabhatiya แห่ง Aryabhata"(สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งชาติอินเดียแห่งนิวเดลี, 1976), ข้อนี้โดยประมาณแปลเป็น:
2.24: เพื่อกำหนดสองปริมาณจากความแตกต่างและผลิตภัณฑ์คูณผลิตภัณฑ์ด้วยสี่จากนั้นเพิ่มกำลังสองของความแตกต่างและใช้สแควร์รูท เขียนผลลัพธ์นี้ลงในสองช่อง เพิ่มสล็อตแรกโดยความแตกต่างและลดที่สองโดยความแตกต่าง ตัดแต่ละช่องครึ่งเพื่อให้ได้ค่าของสองปริมาณ
ในสัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่เราเขียนความแตกต่างและผลิตภัณฑ์เช่นนี้:
x - y = a (ความแตกต่าง)
x ∙ y = b (ผลิตภัณฑ์)
ขั้นตอนจะถูกเขียนเช่นนี้:
x = [√ (4 ∙ b + a2) + a]/2
y = [√ (4 ∙ b + a2) - a]/2
นี่คือการเปลี่ยนแปลงของสูตรกำลังสอง ขั้นตอนที่คล้ายกันปรากฏขึ้นย้อนหลังไปถึงบาบิโลเนียและเป็นตัวแทนของรัฐพีชคณิต (และความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับดาราศาสตร์) มานานกว่า 3,500 ปีในอารยธรรมหลายแห่ง: อัสซีเรียในศตวรรษที่ 10 Chaldeans ในศตวรรษที่สิบเจ็ด BC; เปอร์เซียในศตวรรษที่หกก่อนคริสต์ศักราช; ชาวกรีกในศตวรรษที่สี่ก่อนคริสต์ศักราช; โรมันในโฆษณาศตวรรษแรก; และชาวอินเดียในโฆษณาศตวรรษที่ห้า
ในขณะที่ขั้นตอนดังกล่าวมีต้นกำเนิดมาจากเรขาคณิตอย่างแน่นอน แต่ก็เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบข้อความต้นฉบับจากอารยธรรมแต่ละคนไม่ได้พูดอะไรเลยเกี่ยวกับขั้นตอนดังกล่าวได้รับการพิจารณาและไม่มีความพยายามใด ๆแสดงการพิสูจน์ความถูกต้องของพวกเขา บันทึกที่เป็นลายลักษณ์อักษรที่จัดการกับปัญหาเหล่านี้ปรากฏตัวครั้งแรกในยุคกลาง
วัยรุ่นของพีชคณิต
ที่ยุคทองของศาสนาอิสลามระยะเวลาตั้งแต่ศตวรรษที่สิบเจ็ดถึงกลางศตวรรษที่ 13 ได้เห็นการแพร่กระจายของคณิตศาสตร์กรีกและอินเดียไปสู่โลกมุสลิม ในโฆษณา 820อัล-Khwarismสมาชิกคณะของ House of Wisdom of Baghdad ตีพิมพ์ "Al-Jabr Wa'l Muqabalah," หรือ "หนังสือที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณโดยเสร็จสิ้นและสร้างสมดุล" มันมาจาก "al-Jabr" ที่เราได้รับคำว่า "พีชคณิต" Al-Khwārizmīยังได้พัฒนาวิธีการอย่างรวดเร็วสำหรับการคูณและหารตัวเลขซึ่งเป็นที่รู้จักกันในชื่ออัลกอริทึม-การทุจริตของชื่อของเขา นอกจากนี้เขายังแนะนำว่าควรใช้วงกลมเล็ก ๆ น้อย ๆ ในการคำนวณหากไม่มีหมายเลขปรากฏในสถานที่สิบแห่ง - ดังนั้นประดิษฐ์ศูนย์-
เป็นครั้งแรกนับตั้งแต่ก่อตั้งขึ้นการฝึกพีชคณิตเปลี่ยนโฟกัสออกไปการใช้วิธีการขั้นตอนเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการของพิสูจน์และได้รับวิธีการดังกล่าวโดยใช้รูปทรงเรขาคณิตและเทคนิคการดำเนินการกับแต่ละด้านของสมการ ตามคาร์ลบีบอยเยอร์ใน "ประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์ที่ 3"(2011, Wiley), Al-Khwārizmīพบว่า" จำเป็นต้องแสดงให้เห็นถึงความจริงของปัญหาเดียวกันกับที่เราได้อธิบายไว้ในตัวเลข "
นักวิชาการมุสลิมยุคกลางเขียนสมการเป็นประโยคในประเพณีที่รู้จักกันในปัจจุบันเกี่ยวกับวาทศิลป์พีชคณิต. ในอีก 800 ปีข้างหน้าพีชคณิตก้าวหน้าผ่านสเปกตรัมของภาษาวาทศิลป์และสัญลักษณ์ที่รู้จักกันในชื่อที่ได้ถูกซิงก์พีชคณิต. มรดกของความรู้ Pan-Eurasian ซึ่งรวมถึงคณิตศาสตร์ดาราศาสตร์และการนำทางพบทางไปยุโรประหว่าง 11ไทยและ 13ไทยศตวรรษส่วนใหญ่ผ่านคาบสมุทรไอบีเรียซึ่งเป็นที่รู้จักของชาวอาหรับว่าอัล-ดาลัส จุดเฉพาะของการส่งผ่านไปยังยุโรปคือการพิชิตปี 1085 ของโทเลโดโดยคริสเตียนสเปน 1091 การเรียกร้องให้ซิซิลีโดยนอร์มัน (หลังจากการพิชิตอิสลามในปี 965) และการต่อสู้ของผู้ทำสงครามในปี 1096 ถึง 1303 Leonardo Fibonacci (1170-1250) เดินทางไปยังดินแดนมุสลิมเพื่อเรียนรู้วิทยาศาสตร์
การสุก
พีชคณิตที่เป็นสัญลักษณ์อย่างเต็มที่ - ดังที่แสดงในตอนต้นของบทความ - จะไม่เป็นที่รู้จักจนกว่าจะมีการปฏิวัติทางวิทยาศาสตร์ René Descartes (1596-1650) ใช้พีชคณิตที่เราจะรับรู้ในวันนี้ในสิ่งพิมพ์ 1637 ของเขา "La Géométrie" ซึ่งเป็นผู้บุกเบิกการปฏิบัติของสมการพีชคณิตกราฟ ตาม Leonard Mlodinow ใน "หน้าต่างของ Euclid"(Free Press, 2002), Descartes '" วิธีการเรขาคณิตมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อความเข้าใจของเขาว่าเขาเขียนว่า' ฟิสิกส์ทั้งหมดของฉันไม่มีอะไรอื่นนอกจากเรขาคณิต '"พีชคณิตที่ออกจากคู่หูเรขาคณิตขั้นตอนเมื่อ 800 ปีก่อนเพื่อพัฒนาเป็นภาษาสัญลักษณ์
ทรัพยากรเพิ่มเติม
- Ted Talks: Terry Moore on "ทำไม 'x' ถึงไม่ทราบ?-
- บล็อกของ Robert Coolman สิ่งที่น่าสนใจ:คณิตศาสตร์บาบิโลนโบราณ
- Khan Academy:พีชคณิตฉัน
