*复杂分析中的笑声* 图片：Imageflow/Shutterstock
您是否曾经遇到过如此困难的数学问题，以至于不得不发明一种全新的数字类型？
正如您可能（也可能不，这也是有效的）在高中时记得的那样，有一些称为二次方程的东西。它们看起来像这样：
如果您记住一些技巧，解决这些问题并不难。假设我们有二次方程
我们想弄清楚什么x是。如今，有几种方法可以解决这个代数方程，但它们都给出相同的答案：
然而，500年前，情况却不同了。对于初学者来说，这根本就不是一个用方程描述的代数问题——而是一个几何问题。只需观看 YouTuber Veritasium 的解释即可视频以下：
用现代语言来说，我们将中世纪数学家使用的技术称为“完成平方”。它非常整洁，而且做得很好。但它适用于更大、更复杂的方程吗？如果我们想要解三次方程而不是二次方程怎么办？
甚至早在 1500 年代，三次方程就一直困扰着数学家几个世纪。显然，它们（至少有时）是可解的：只要看看方程
如果我们设置x= 2 在左侧，我们发现
所以x= 2 绝对是一个解决方案 - 但还有其他解决方案吗？我们怎样才能在不猜测的情况下找到它们呢？
正如 Veritasium 所解释的，这是可能的——但对中世纪数学家来说似乎并非如此。这是因为求解三次方程有时（甚至经常）需要我们完全离开实数领域。
正如我们之前发现的，实数基本上是当有人告诉你“想一个数字”时你立即想到的那种数字。所以七、二、负 14.2 循环、圆周率——这些都是实数。我们倾向于认为它们存在于数轴上，就像这样
现在，实数拥有许多令人难以置信的性质，但它们缺少一个重要的性质：它们不是数学家所说的“代数封闭”。这基本上意味着你可以做某种代数——乘法、除法、平方等等——让你从一个实数开始，以其他数字结束。
那代数是什么？这相当简单：取平方根。具体来说，取负数的平方根。
我们经常被告知负数的平方根“不存在”，而这也几乎正是你们老数学家所相信的——当这些根出现在三次方程中时，问题就被简单地标记为“不可能” ，求解器将继续。但在 1572 年，一位名叫拉斐尔·邦贝利 (Rafael Bombelli) 的工程师取得了只有工程师才能做到的突破：通过四处探索并找出答案。
他想，如果我们假装这些负数的平方根没问题呢？如果我们把它们留在里面并完成方程的求解，会发生什么？我们得到答案了吗？更重要的是——我们是否得到了正确的回答？
他的赌博得到了回报：成功了。邦贝利不仅发现了求解三次方程的方法，而且还发明了我们现在所知的虚数。
这些虚数——这个名字最初是勒内·笛卡尔（Rene Descartes）的侮辱，他讨厌它们——继续改变数学和我们所知道的世界。正如 Veritasium 所解释的那样，它使科学能够将代数与几何完全分离，从而使电气工程和流体动力学等领域的突破成为可能。它甚至出现在相对论和量子力学中——这些领域对于最初想到它们的文艺复兴时期的数学家来说是难以想象的。
正如视频中引用的传奇物理学家弗里曼·戴森所说：把它：“薛定谔将负一的平方根代入方程，突然间它就有意义了……薛定谔方程正确地描述了我们所知道的有关原子行为的一切。它是所有化学和大部分物理学的基础。负一的平方根意味着大自然只处理复数而不是实数。”
