這是一個直接來自校園的想法：有一天你可能會不小心數得太高而違反了數學定律。然而，一份新的預印本（尚未經過同行評審）似乎做到了這一點——它可能對我們如何理解無窮大產生巨大的影響。
如此令人困惑的結果來自集合論是很恰當的：這是一個以抽象且常常違反直覺而聞名的領域；它有自己深奧的字母和語言；它以看起來太基礎甚至不需要證明的結果而聞名（參見：）或如此明顯荒謬，以至於你認為他們一定在途中的某個地方犯了錯誤（參見：1 + 1 = 1）。
問題是，我們真的離不開它。集合論的核心是尋找一勞永逸地馴服數學的方法——弄清楚我們可以證明什麼，以及我們只能假設什麼。為此，數學家有時需要尋找邊緣情況：數學中的事物是如此巨大、奇怪或基本，以至於我們認為理所當然的所有規則都開始崩潰。
不幸的是，有時他們會成功。
無限階梯
「無限」是一個有時。例如，光說「無窮大是自然數的數量」是不夠的──因為如果是這樣的話，那麼有多少個偶數？有多少分數？如果包括的話是多少還有？
不出所料，上述所有問題的答案也是「無限」——但至少有兩種不同尺寸的存在。事實證明，數學家可以證明偶數、整數和分數的集合都具有相同的大小——一個稱為 ℵ 的無限數0（發音為“aleph-null”）。另一方面，實數集——即所有有理數和非理性的數字——要大得多。
然而，究竟有多大，這個問題已經挑戰了我們所知道和能夠證明的極限。我們現在進入了“大基數”的世界：數字“如此之大，以至於無法使用數學標準公理證明它們的存在”，新論文的三位合著者之一、數學家、邏輯學家瓊·巴加里亞(Joan Bagaria) 解釋。
這是一個既是限制又是優勢的事實。存在於 ZFC 之外 – 縮寫代表“Z埃爾梅洛-Fraenkel 加上公理C巴加里亞告訴 IFLScience，「hoice」是構成世界上幾乎所有數學基礎的兩組最小規則，這意味著大基數的存在「必須被假設為新公理」。換句話說，它無法被證明——只能假設為真，就像我們理所當然地認為的那樣x=x。
但這種超出正常規則的位置也使得大基數成為處理更棘手的數學領域的寶貴工具。巴加里亞說，它們“讓我們對數學宇宙的結構和本質有了更深入的了解。” “它們使我們能夠證明許多新定理，從而解決許多僅使用 ZFC 公理無法判定的數學問題。”
例如：即使在這個無法證明無限的無形世界中，某種秩序可以感覺到——至少在某種程度上是。巴加里亞解釋說，有一些難以接近的紅衣主教——大紅衣主教中最小的一個（正如你可以想像的那樣，“小”這個詞在這裡有點承重）。在這些之上，還有可衡量的基數；最終，我們得到了緊湊型、超緊湊型，甚至可能被謙虛地命名為“巨大”的基數。
但更進一步，甚至這些深奧的分類也開始瓦解。 「最終，大基數變得如此強大，以至於與選擇公理相矛盾，」巴加里亞說。 “這是一個無法選擇的大基數的世界，這很難被接受為真實的，因為大多數數學領域都需要選擇公理。”
歡迎來到叢林
新的數字被扔進了這個越來越奇怪的層次結構中。巴加里亞解釋說，它們的發現者將它們標記為「嚴格」和「超嚴格」紅衣主教，「生活在大紅衣主教等級制度的最上層」； “它們符合選擇公理，而且它們的配方非常自然，因此很容易被接受。”
到目前為止，一切都是合理的——但新的基數仍然給一些數學家的無窮圖景帶來了麻煩。問題在於一種稱為遺傳序數可定義性（Hereditary Ordinal Definability）或「HOD」的性質，即一個集合，即使是無限大的集合，也可以透過「計數」來理解。
它是解決無窮大問題的便利工具，一些數學家曾經希望它有更廣泛的適用性。如果全部，或至少基本上所有的集合──包括這些無限大的集合──都可以這樣定義，這意味著大基數的混亂只是一個曇花一現，而不是一個瓦解；即使在等級制度的頂層，選擇公理也將再次變得合理。
這就是為什麼在過去十年左右的時間裡，集合論學家一直在爭論所謂的「HOD猜想」。這本質上是這一願望的形式化：「HOD 猜想告訴我們，數學宇宙是有序的，並且『接近』可定義數學對象的宇宙，」新論文的合著者、維也納理工大學的數理邏輯學家胡安·阿奎萊拉(Juan Aguilera)在奧地利，向 IFLScience 解釋道。
至少可以說，以一種或另一種方式解決這個猜想是很棘手的。由於大基數的怪異性，理論上證明正確比證明錯誤需要更少的努力，但任一方向的明確答案都是難以捉摸的。然而，證據卻並非如此：“直到現在，許多人都認為 HOD 猜想可能是正確的，”巴加里亞說，“證據來自於過去幾十年對大基數的規範內部模型的研究。 ”
Bagaria 解釋說，在「所有這些模型」中，HOD 猜想似乎都成立。那麼發生了什麼變化呢？
一個嚴格的問題
在一個已經被反直覺和無形性定義的領域中，新預印本中引入的嚴格和超嚴格的基數仍然顯得特別奇怪。
阿奎萊拉告訴我們：“通常，大的無窮大概念會‘自行排序’，即使它們是在不同的背景下發現的，但其中一個總是明顯比其他更大或更小。” “超精確的紅衣主教似乎有所不同。”
他解釋說，這不僅僅是因為它們不太適合自己——它們也會讓原本表現良好的紅衣主教表現得不好。 「它們與之前的無窮概念相互作用非常奇怪，」阿奎萊拉解釋道。 “它們放大了其他無窮大：被認為是‘稍大’的基數在存在超精確基數的情況下表現得與更大的無窮大一樣。”
這是我們認為佈局相當合理的層次結構中意想不到的混亂——它對我們如何設想未來的無限有著深遠的影響。 「在我看來，這表明需要做出一些修改，」阿奎萊拉說。 「也許無窮大的結構比我們想像的更複雜，這需要更深入、更仔細的探索。」
儘管如此，這對 HOD 猜想來說仍然是個壞消息。如果嚴格和超嚴格的基數被接受，那麼只需一個短暫的跳躍就可以證明 HOD 猜想是錯誤的——最終獲勝的是混亂，而不是秩序。
這不是致命一擊——請記住，這些大基數的存在必須通過公理引入，而不是嚴格證明，因此結果“不會直接反駁 HOD 猜想”，巴加里亞警告說。 “但[他們]提供了非常有力的證據來反對它，這與普遍的直覺相反。”
但問題是：多年來人們一直希望 HOD 猜想最終會佔上風，但事實真的如此糟糕嗎？巴加里亞和同事的發現可能會暫時讓人迷失方向，但它也開闢了一個大紅衣主教的豐富新世界，其行為和影響對於新研究來說已經成熟。
「我們三人和其他同事將繼續研究精確和超精確的紅衣主教，」阿奎萊拉告訴 IFLScience。 “這可能是一種新型無限的第一個實例。”
「這是需要澄清的事情，」他說。 “也許這只是一個開始。”
預印本可於arXiv。
