1912年，哲學家伯特蘭·羅素（Bertrand Russell）和阿爾弗雷德·諾斯（Alfred North Whitehead）做了他們以前沒有做過的事情：他們證明了1 + 1 = 2。
他們花了整本書的設置價值，再加上80頁的第二卷。一個理性的人可能會得出結論，這是輕微的過度殺傷力。然而，在所有工作中，這對夫婦有一件事令人驚訝地草率：他們從來沒有定義“ =”的含義。
但是當然，為什麼會？每個人都知道“平等”的含義；就像，您在學齡前數學中學到的第一件事！除此之外，就像1 + 1一樣，數學平等的概念遠非簡單或普遍 - 這已成為一個大問題。
“平等”是什麼意思？
現在，不要誤會我們的意思：您的平均數學家理解“ =”的方式幾乎與您相同的方式 - 儘管插入了更多的術語。
“的含義x=y就是那個x和y是同一對象的兩個名稱，”邏輯學家和數字理論家約翰·巴克利·羅瑟（John Barkley Rosser）數學家的邏輯。 “我們對物體的性質沒有任何限制，以便我們不僅在數學中的數字[…]之間具有平等性，而且在數學中很常見，而且還具有兩組之間，或在函數之間或任何邏輯對象的名稱之間。 ”
這很模糊，但可行。當我們試圖向計算機科學家解釋這一點時，問題就來了更糟，計算機本身。
“許多年前，計算機科學家[...]孤立了幾種不同的平等概念，並且對這個主題有深刻的了解，”代數數字理論家和倫敦帝國學院的純數學教授凱文·巴扎德（Kevin Buzzard）寫道。最近的討論文件關於發佈到預印服務器ARXIV的概念。例如，“ 2個字符”字符串“ 2 + 2”鍵入計算機代數係統，例如，系統的單字符串“ 4”輸出；數字2 + 2和4相等，術語不是。 ”
Buzzard繼續說：“另一方面，數學家非常擅長內化處理，並且過了一會兒就忽略了它。” “在實踐中，我們依靠某種深刻的直覺，而不是我們中有些人認為我們實際上在內部工作的邏輯框架，而不是依靠某種深刻的直覺，我們使用平等的概念。”
作為同構的平等
平等的基本概念恢復了……好吧，可能就數學本身而言- 但是，如果您要求一位現代數學家對他們的含義進行更深入的研究，那麼他們很有可能會嘗試使用稱為“同構”的東西來解釋它。
同構是從古希臘的“平等形式”，基本上是從一種數學結構到另一種類型的一種方法。有一些規定 - 例如，它必須是可逆的和三物的 - 但是除此之外，它們可能是基於氛圍的令人驚訝的。這不是一無所有，這是數學家無法分辨甜甜圈和咖啡杯之間區別的舊笑話背後的概念：兩種形狀在拓撲上是同構的，因此在某種程度上是同一件事。
諾丁漢大學計算機科學教授Thorsten Altenkirch說：“同構是平等。”新科學家本月初。 “我的意思是，還有什麼？如果您無法區分兩個同構對象，那還會是什麼？您還稱這種關係是什麼？”
數學中“平等”的其他用途同樣模糊。 Buzzard的論文基於他在2022年的數學邏輯和哲學會議上進行的演講，涵蓋了一些最令人震驚的罪犯：例如，在“ [Alexander] Grothendieck的開創性作品[…]中，他和Dieudonne在其中開發了現代代數的基礎，他指出了他的現代代數的基礎。數百個時間[…]沒有任何定義。 ”
他補充說：“當然，我們當然知道Grothendieck的含義。”但是“ [互動定理供奉獻]精益會告訴格羅頭邊，這種平等根本不是真的並會固執地指出使用它的任何地方。 ”
這是一種二分法，體現了現代數學的狀態。作為越來越純淨的領域在現實世界，數學家和計算機科學家中找到應用程序傾斜 比以往任何時候都多在AI和計算機告知他們的工作。但是這些機器不能依靠吸引直覺那個人類數學家已經開始接受：“作為一名數學家，您以某種方式了解了自己在做什麼，您對此並不擔心，”東安格利亞大學的數字理論講師克里斯·伯克貝克（Chris Birkbeck）告訴新科學家。 “一旦有一台計算機檢查您所說的一切，您根本就不可能含糊不清，您確實必須非常精確。”
平等問題
那麼，數學家該怎麼辦？畢竟，很難想到一個更基本的問題，而不是在數學陳述中沒有“ =”的定義。
好吧，有兩個潛在的選擇。一種解決方案可能是大修數學本身，也許是將平等重新定義為同一件事 - 可能會說“等同” - 規範同構。但這可能只是在解決問題的問題上，巴扎德警告說：“ [數學家]戈登·詹姆斯（Gordon James）告訴我，他曾經問過約翰·康威[規範]一詞的含義，康威的回答是，如果您和您的辦公室旁邊的人都寫下了一張地圖一個到b，這是同一張地圖，然後這張地圖是規範的，”他寫道。這可能是個好笑話，但這不是一個好的定義。”
或者，Buzzard建議，可能需要提出一類新的數學家，這是可以“填補當前困擾該學科的漏洞”的人。他說，這種方法的優勢至少是實際的：“改變數學家非常困難，”他告訴新科學家。 “您必須使計算機系統更好。”
無論哪種方式，數學似乎都是重新考慮的 - 對於那些對計算機輔助證明前沿的人來說，越早越好。固定“平等”的定義似乎是一個基本問題，但最終可能會對我們的未來世界產生深遠的影響 - 畢竟，拉塞爾和懷特海德在100年前的開創性證明之後指出的那樣，“ 1 + 1 = 2]有時是有用的。”
