“詢問任何專業數學家整個領域中最重要的開放問題是什麼，”寫了數學家基斯‧德夫林，1998 年,「你幾乎肯定會收到『黎曼猜想』的答案」。
自 1859 年首次提出以來，黎曼猜想一直是「數學的聖杯」。大衛希爾伯特的 23 個問題1900年，七人之一千年獎問題一個世紀後。
它是被稱為“最著名的未解決的問題......在所有數學中”，並且有充分的理由：有數十本專門討論該問題的書籍，出現在電視上，並且在新聞週期中佔有半常規的位置。
但它是什麼？ 為什麼人們不斷地試圖證明這一點？ 如果他們這樣做了會發生什麼事？
是時候深入研究數學，看看我們是否能理解黎曼假設了。
黎曼假設很難理解嗎？
似乎常常有一條不成文的規則：數學問題越難，對外行人來說看起來就越容易。 例如，費馬大定理就花了 350 多年證明，並且可以用一句話來表達。
黎曼猜想是一個明顯的例外。 為了理解猜想的陳述，你至少需要一些複分析和解析數論的知識——更不用說閱讀數學速記的能力，它本身通常就是一種語言。
但如果我們就此打住的話，這並不足以解釋一切——所以讓我們去參加一個素數論速成班，並弄清楚這個有 160 年曆史的謎題到底意味著什麼。
為什麼涉及質數？
在理解黎曼假設為何重要之前，您必須先了解素數是什麼。 您可能還記得您的小學數學老師將它們描述為只能被自身和一整除的數字，這是事實，但這並不是它們的全部。 對於專業數學家來說，這項特性使它們變得極為重要：它們基本上是數學的原子。 正如（至少在理論上）任何物理物品都可以分解為其組成原子一樣，您能想到的任何整數都可以分解為一組唯一的原子。主要原因。 隨機選取一個例子，231 可以表示為 3、7 和 11 的乘積。
這很重要，不僅是因為它讓數學家感到內心溫暖模糊。 這種數學用於透過互聯網發送加密訊息：它被稱為 RSA 加密，它的工作原理是，將一個大數分解為其質因數比將一堆質因數分解為質因數要困難得多。它們相乘的最大數。
所以質數很重要，但它們也是棘手的小混蛋。 僅僅因為你找到了一個數字並不能幫助你預測下一個數字，而最終檢查一個數字是否是素數的唯一方法就是系統地沿著數軸尋找因子。 但稍微瞇一下眼睛，那裡可能有一種模式——而不是在在哪裡素數在數軸上，但在多少有。
十八世紀末，兩位傳奇數學家卡爾·弗里德里希·高斯和阿德里安·瑪麗·勒讓德顯然開始了完全獨立彼此之間，研究質數。 但他們決定以一種新的方式來處理這個概念：他們正在研究密度素數 - 問題「我應該在數軸的這一部分中看到多少個素數？」的答案
為了說明為什麼這是一個有趣的問題，請考慮一下 0 到 10 之間有多少個質數：四個。
現在考慮 0 到 100 之間有幾個：25。
在 0 到 1,000 之間，您會找到 168 個質數，在 0 到 10,000 之間（別擔心，我不會讓您檢查）有 1,229 個質數。
因此，每當我們將間隔的大小增加十倍時，分配給質數的數量就會從 40% 增加到 25%，再到 16.8%，再到 12.29%。 換句話說：素數變得越來越「稀有」。 到了 1793 年，年僅 16 歲的高斯已經弄清楚如何做到這一點。
「我很快就認出了，」他寫了在給他的朋友約翰·恩克（Johann Encke）的一封信中，「在所有波動的背後，這個頻率平均與對數成反比，因此低於給定界限 n 的素數數量大約等於？DN/日誌（n）」。
這個相當隨意的評論被現代數學重寫，現在被稱為素數定理。
關於「平均」行為就講這麼多，但是高斯提到的那些「波動」呢？ 嗯，這些都與 zeta 函數有關——這就是黎曼的用武之地。
伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann) 是高斯的學生，他提出許多重要貢獻到數學的世界。 他的工作影響了從微積分到微分幾何的方方面面，甚至為廣義相對論的發展奠定了基礎，這對於一個沒有參加14 歲前接受正規教育。但令人印象深刻一生中，他只寫過一篇關於數論的論文，但這真是太瘋狂了：1859 年，作為他當選柏林科學院院士的條件，黎曼提交了一篇現在著名的論文，題為“論素數的數量」小於給定的幅度」。
zeta 函數，因其以希臘字母 zeta 表示而得名，有起初歐拉幾乎考慮過一個世紀前。
然而，黎曼對 zeta 函數所做的卻完全不同。
看見？ 那右已成為一個C。 我知道它看起來並不多，但是這個小小的變化使 zeta 函數從實數變成了複數，這完全是一個非常不同的函數。 這一變化非常重要，以至於該函數現在被稱為黎曼zeta函數，而且很多人根本不知道歐拉與此有任何關係（不過，不要為老歐拉感到太難過——他有足夠的 東西 命名的 後 他 已經.)
等等——複數？ 這些是什麼？
啊，是的——抱歉。 複數並不難理解，但除非您擁有數學學位，否則您很有可能以前從未見過它們。 基本上，有兩種類型的數字：實數和複數（好吧，有四元數同樣，但它們現在並不重要，所以我們不要混淆。
A實數如果有人說“想一個數字”，你可能會想到任何數字。 是的，即使你感到厚臉皮並想出類似的東西？ 或記錄(2)。 基本上，如果您可以在數軸上的任何位置看到它，那麼它就是一個實數。
然後還有複數。 思考複數的一個好方法就像是圖表上的一對座標。 沿著底部，我們有實數軸。 從側面看，我們有所謂的假想數軸，與實數軸幾乎相同，只是我們寫了一個“我”在每個數字之後。
這我是虛數單位，它的定義特徵是，如果對其進行平方，則會得到負數。 這就是複數與實數不同的原因：當你對實數求平方時，你可以僅有的得到肯定的答案。 當您對複數進行平方時，您可以獲得正數或負數的答案。
有一個一堆理由研究複數，但目前對我們來說重要的是當你將它們放入黎曼 zeta 函數時會發生什麼。
哪個是什麼？
因此，每當我們有一個函數時，數學家喜歡問的一個好問題是：零在哪裡？ 或者換句話說：我可以在這個函數中放入什麼值才能得到零的答案？
黎曼在 1859 年的論文中計算了其中一些零，他發現所有這些零的實部都等於 1/2 – 或者，如果你想用我們的圖形坐標來思考它，它們都位於同一個位置垂線。
黎曼 Zeta 圖
事實上，黎曼認為很可能全部zeta 函數的無限個零位於這條線上。
這就是黎曼猜想？
就是這樣！ 黎曼假設指出「黎曼 zeta 函數的每個非平凡零的實部是 1/2」。
其實是已顯示那第一個十兆零確實位於這條「臨界線」上，這就是為什麼很多人認為它一定是真的的原因之一。 但在數學中，實驗——甚至十億次實驗——都不能證明，在數學上證明假設之前，十萬億次和一分之一零總是有可能出現在不同的地方。
奇怪的是，黎曼似乎不理解他的假設的開創性意涵。 他漫不經心地提起這件事，當作不重要的旁白，然後繼續前進。
為什麼它如此重要？
黎曼假設已被證明幾乎與數學的每個領域相關，並且相當於令人難以置信的範圍看似無關的猜想。 甚至還出現了晶體中。
數百個定理取決於它是否屬實，所以有很多事情取決於它。 當然，數學家本身也有一個小問題，如果黎曼假設被證明是錯誤的，他們可能會遇到集體認同危機。 正如數學家彼得·薩納克 (Peter Sarnak)說：
「如果[黎曼猜想]不成立，那麼世界就會變得非常不同。 整數和質數的整個結構將與我們想像的非常不同。 在某種程度上，如果它是假的，那會更有趣，但這將是一場災難，因為我們已經圍繞著假設它的真實性做了很多工作。
我聽說有人證明了黎曼猜想──這是真的嗎？
嗯……可能不會，不會。 畢竟，160 多年過去了，世界上最優秀的數學家還沒有能夠破解它。
時不時地，有人會用所謂的「證據」登上頭條，但到目前為止還沒有得到證實。 2015年，謠言開始流傳尼日利亞數學教授 Opeyemi Enoch 已經解決了這個問題，但他們幾乎立即揭穿了。
2018年著名數學家和物理學家邁克爾·阿蒂亞爵士宣告他有一個解決方案——但是沒堅持住。
最近，海得拉巴物理學家庫馬爾·埃斯瓦蘭 (Kumar Eswaran)報道證明了這個假設，但這些報告是迅速收回當克萊研究所宣布證明無效時，百萬美元的獎金仍在爭奪中。
你說一百萬美元嗎？
是的——還記得我之前提到的那些「千年獎」問題嗎？ 的解決方案是任何一位將為負責任的數學家贏得 1,000,000 美元。 到目前為止，只有一個被破解——而且不是黎曼猜想。
當然，任何有自尊心的數學家都會只是為了數學， 正確的？
正確的！ 但在一個不相關的問題上，解決黎曼假設的最佳方法是什麼？
這取決於你問誰！ 事實是，我們真的不知道——但考慮到有多少人有嘗試過但失敗了它可能會來自意想不到的地方，甚至可能是一個全新的數學領域。
當然，這是假設它完全可以解決。 數學家格雷戈里·柴廷 (Gregory Chaitin)建議證明可能不存在——但諷刺的是，這本身是不可能證明的！
那麼研究它還有什麼意義呢？
聽著，你確實不太可能贏得 100 萬美元，也不太可能解決 160 多年來無人能解決的問題。 但事實並非如此不可能的。 但實際上，所有這些數學家努力尋找可能不存在的證明的好處是他們同時發現的。
證明費馬大定理花了350年，但這350年充滿了數學創新由尋求解決方案的人們發現的。 黎曼假設才誕生 160 年──誰知道我們還沒發現什麼數學呢？
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