有条件的概率：公式和现实生活中的例子

什么是条件概率？

条件概率是概率理论的原理。它与基于先前事件已经发生的事实发生的概率有关。

它涉及两个或多个不是独立的事件，并问：“如果我们知道A发生了，那么B发生了什么机会？”条件概率是通过将上述事件的概率乘以后续事件或条件事件的更新概率来计算的。

了解条件概率

条件概率根据某些早期事件（b）的发生来衡量某些结果（a）的可能性（a）。

如果发生一个事件不影响发生另一个事件的概率，则说两个事件是独立的。但是，如果发生一个事件（或不发生）确实会影响另一个事件发生的可能性，则据说这两个事件是依赖的。

依赖事件的一个例子是该公司报告收益高于预期的股票价格上涨。

如果事件是独立的，那么事件B发生的可能性并不取决于事件A的发生。例如，苹果公司股票的增加与小麦价格下跌无关。

条件概率通常被写为“给出b“，并被称为p（a | b）。

其他类型的概率

• 有条件的概率可以与无条件的概率。后者也称为边际概率，它可以测量单个事件的机会而不取决于其他事件。相比之下，有条件的概率决定了一个事件的可能性，鉴于发生了另一个事件并将其联系起来。
• 独立概率没有这种相互联系，而是孤立地研究某些事件的概率，因为据信是独立的。
• 一个关节概率是两个事件一起发生的可能性。从这些想法中，可以进入贝叶斯定理，这提供了一种数学上有条件概率的方法。如果您知道事件A给定事件A发生的事件B发生的机会，则可以反向计算给定B的条件概率。

总体而言，尽管边际和关节概率衡量了个体和配对事件，但条件概率可以衡量事件之间的优先级和依赖性。

条件概率公式

$p（b | a）= p（a和b） / p（a）$p（（b∣一个）=p（（一个一个db）/p（（一个）

或者：

$p（b | a）= p（a∩b） / p（a）$p（（b∣一个）=p（（一个∩b）/p（（一个）

字母在以下内容：

p =概率

a =事件

B =事件B

有条件概率的示例

示例1：袋子里的大理石

下面说明了使用大理石的条件概率的示例。步骤如下：

步骤1：了解场景

最初，给您一个带有六个红色大理石，三个蓝色大理石和一颗绿色大理石的包包。因此，袋子里有10个大理石。

步骤2：确定事件

定义了两个事件：

• 事件答：从​​袋子里画一个红色大理石
• 事件B：画一个不是绿色的大理石

步骤3：计算事件B的概率：P（b）

事件B正在绘制一个不是绿色的大理石。总共有10枚大理石，其中9个不是绿色：六个红色和3个蓝色大理石。

$p（b）=（不是绿色的大理石数）/（大理石总数）= 9/10$p（（b）=（（n你MBEROf马rblest哈t一个关于notg里斯n）/（（tot一个ln你MBEROf马rbles）=9/10

步骤4：确定事件A和B的交集：P（A∩B）

事件A和B的交集涉及绘制也不是绿色的红色大理石。由于所有红色大理石都不是绿色的，因此交叉点很简单：绘制红色大理石的事件。

步骤5：计算事件A和B：P（A∩B）的交点的概率

$p（a∩b）=（红色大理石的数量）/（大理石总数）= 6/10 = 3/5$p（（一个∩b）=（（n你MBEROf关于d马rbles）/（（tot一个ln你MBEROf马rbles）=6/10=3/5

步骤6：计算条件概率：p（a | b）

使用条件概率公式p（a | b），即绘制红色大理石的概率，鉴于绘制的大理石不是绿色的，因此计算了概率。

$p（a | b）= p（a∩b）/p（b）=（3/5）/（9/10）= 2/3$p（（一个∣b）=p（（一个∩b）/p（（b）=（（3/5）/（（9/10）=2/3

结果：鉴于绘制的大理石不是绿色，是2/3的条件概率。

示例2：滚动一个公平的死亡

让我们考虑使用公平模具的有条件概率的另一个例子。步骤如下：

步骤1：了解场景

你有一个公平的六面死亡。您想确定滚动数字的概率，因为滚动的数字大于四。

步骤2：确定事件

六面模具的可能结果（样品空间）是第一至六的数字。在此列表中，您可以定义这两个事件：

• 事件A：滚动偶数。事件A表示滚动{2,4,6}。
• 事件B：滚动大于四个的数字。事件B表示滚动{5,6}。

步骤3：计算每个事件的概率

每个事件的概率可以通过将有利的结果（您要寻找的结果）除以样本空间中结果总数来计算。

p（a）是滚动数字的概率。在六个可能的结果中，有三个偶数{2,4,6}。因此，p（a）= 3/6 = 1/2。

p（b）是滚动数大于四个的概率。在六个可能的结果中，两个数字大于四个{5,6}。因此，p（b）= 2/6 = 1/3。

步骤4：确定事件A和B的交集

事件A和B的交集包括同时满足这两种情况的结果。在这种情况下，这意味着要滚动一个均匀且大于四个的数字。两者都唯一的结果是滚动六个。

步骤5：计算事件A和B相交的概率

即使在上面的情况下，即使很容易，我们也会阐明这一点，因为其他示例可能会更加困难：p（a∩b）是滚动六个的概率，因为六个是唯一的均匀均匀且大于四的结果。六种可能性中有一个结果。因此p（a∩b）= 1/6。

步骤6：计算条件概率：p（b | a）

条件概率的公式如下：

$p（b | a）= p（a∩b） / p（a）$p（（b∣一个）=p（（一个∩b）/p（（一个）

当值替换为公式时，这就是结果：

$p（b | a）=（1/6）/（1/2）= 1/3$p（（b∣一个）=（（1/6）/（（1/2）=1/3

结果：这意味着鉴于滚动的掷骰，该数字也大于四个是1/3的概率。

示例3：多种条件概率

另一种情况涉及一名学生申请录取的大学，该大学希望获得奖学金和书籍，用餐和住房的津贴。确定获得津贴和奖学金的条件概率的步骤如下：

步骤1：了解场景

首先，学生想知道被大学录取的可能性。然后，如果被接受，学生希望获得学术奖学金。此外，如果可能的话，学生还希望获得书籍，用餐和住房的津贴，如果他们获得奖学金。

步骤2：确定事件

有三个事件：

• 事件答：被大学录取。
• 事件B：接受后获得奖学金
• 事件C：获得奖学金后获得书籍，餐点和住房的津贴

步骤3：计算被接受的概率（事件A）

大学接受与学生类似的申请的每100名。因此，被接受的学生的概率为p（a）= 100/1000 = 0.10或10％。

步骤4：确定获得奖学金的概率一旦接受：P（b | a）

众所周知，在被接受的学生中，每500人中有10个获得奖学金。因此，获得接受奖学金的可能性如下：

$p（b | a）= 10/500 = 0.02 = 2％$p（（b∣一个）=10/500=0.02=2％

步骤5：计算被接受并获得奖学金的概率

为了计算被接受和获得奖学金的可能性，接受的可能性乘以获得接受奖学金的条件概率。

$p（a∩b）= p（a）×p（b a）= 0.1×0.02 = 0.002 = 0.2$p（（一个∩b）=p（（一个）×p（（b∣一个）=0.1×0.02=0.002=0.2％

步骤6：确定获得获得奖学金的津贴的可能性：P（C | B）

还知道，在奖学金获得者中，有50％的人获得书籍，餐点和住房的津贴。因此，p（c | b）= 0.5 = 50％。

步骤7：计算被接受，获得奖学金并获得津贴的概率

为了计算被接受的学生的概率，获得奖学金，然后还获得津贴，事件的概率被乘以。

$p（a∩b∩c）= p（a）×p（b a）×p（c b）= 0.1×0.02×0.5 = 0.001 = 0.001 = 0.1％$p（（一个∩b∩c）=p（（一个）×p（（b∣一个）×p（（c∣b）=0.1×0.02×0.5=0.001=0.1％

此分步分解说明了如何使用基本概率公式和条件概率计算每种情况的概率。

条件概率与关节概率和边际概率

现在，让我们将计算条件概率与其他类型的概率区分开。

有条件的概率

这次的示例是常规牌。定义了两个事件：

• 事件答：画四
• 事件B：画一张红牌

标准甲板有52张卡片分为四个西装（心，钻石，俱乐部和黑桃）。心脏和钻石是红色的，俱乐部和黑桃是黑色的。每个西装都有13张卡片：ACE，然后是2至10张，然后是面部卡杰克，女王和国王。

甲板包含26张红牌，13颗心和13颗钻石。因此，绘制红牌的概率为p（b）= 26/52 = 1/2。

在红牌中，有四颗心和四个钻石。因此，如果必须绘制红牌，则需要考虑仅包括这26张红牌的甲板的子集。

鉴于已经绘制了红牌，因此它是四个的概率，如下所示：

$p（a | b）=（红色四分之一的数量）/（红牌总数）= 2/26 = 1/13$p（（一个∣b）=（（n你MBEROf关于DFo你卢比）/（（tot一个ln你MBEROf关于dc一个rds）=2/26=1/13

边际概率

边际概率P（a）是事件自行发生的概率。它不考虑任何其他事件的发生。

由于事件A绘制了四个，因此P（a）是通过将四分之一的数量除以甲板中卡的总数来计算的。

$p（a）=（甲板中的四分之一）/（甲板中的卡总数）= 4/52 = 1/13$p（（一个）=（（n你MBEROffo你卢比在thedECk）/（（tot一个ln你MBEROfc一个rds在dECk）=4/52=1/13

关节概率

联合概率是同时发生两个或多个事件的可能性。这表示为p（A∩B），即事件A和B发生的概率。

假设以前的事件是相同的，也就是说，事件a是绘制四个和事件B正在绘制红牌的卡的出现，我们可以找到绘制既是四个和红色的卡的关节概率。

有两个符合标准，四个心脏和四个钻石的卡片。因此，绘制既有四个和红色的卡的联合概率，如下：

$p（a∩b）=（红色四分数）/（卡的总数）= 2/52 = 1/26$p（（一个∩b）=（（n你MBEROf关于DFo你卢比）/（（tot一个ln你MBEROfc一个rds）=2/52=1/26

贝叶斯定理和有条件的概率

贝叶斯定理用于计算不确定事件时计算条件概率。在投资中，这使您可以在获得新的相关数据时更新市场结果的概率估计。

例如，假设您想知道标准普尔500标准普尔500的概率，鉴于最初的国内生产总值（GDP）数字，今年将返回正百分比。在这种情况下，您将从贝叶斯定理开始，考虑到该指数的历史回报率，以获得预计经济扩张的初步估计。

然后，您将使用最新的GDP估计值修改第一个概率。这将提供更精致的概率评估，并随着年份的进行，其中包含所有证据。

虽然在数学上有点复杂，但贝叶斯定理还是很合乎逻辑的。如果投资者发现与潜在市场收益相关的新经济信息，则将这些数据集成以获得更精确的计算是有意义的。

18世纪的英国部长托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）设计了这种统计技术，该技术在财务建模和其他领域中仍然需要预测在不确定条件下进行预测。

底线

有条件的概率研究了事件发生的可能性，该事件的可能性是根据发生前事件发生的。第二个事件取决于第一个事件。

例如，我们可能想知道，如果其领域的指数越来越高，某些股票的可能性会上升。有条件的概率计算同时考虑了第一个事件的可能性（价格上涨），以及两个事件重叠的程度。