如果数学家们喜欢一件事，那就是惊喜。如果惊喜的形式看起来不错，并解决了一个被认为无望的问题，那就加分了。
所以你可以想象这对亚历山大·邓恩 (Alexander Dunn) 和马克西姆·拉齐维 (Maksym Radziwi) 来说一定是美好的一天。去年9月15日之后，他们终于能够上传帕特森猜想的证明——这是 45 年前提出的一个可以追溯到 19 世纪的问题的解决方案。
邓恩告诉记者：“这项工作很令人兴奋，但风险极高。”广达杂志。“我的意思是，我记得我连续四五个月每天早上五点就来到办公室。”
什么样的问题值得我们做出这样的承诺？两个字：高斯和。
如果你熟悉这些量——以卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，他是历史上最多产的数学家之一，也是 18 世纪第一个开始研究加法的人——那么你可能对数论有一定的了解，它们在数论中无处不在。简单地说，或者用大学数学最简单的说法，它们是单位根的和：你取比如说，求立方得到一个，然后把它们全部加在一起。它们的二次形式如下：
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图片来源：（C）IFLScience
到目前为止一切顺利，但真正的问题开始于你从二次到三次的上升阶段。这是一个微小的变化：我们所做的只是替换n2与n3在上述总结中。但影响相当巨大？这就是为什么 Ernst Eduard Kummer 最初开始研究它们之后，花了 175 年的时间才破获此案。
库默尔猜想
这并不是说库默尔没有取得任何进展。大约一个世纪以来，他 1846 年的猜想是世界上最接近于三次高斯和的值在数轴上如何分布这一问题的答案。而且这也是一个非常出色的数学答案：他猜想对于一个素数页，这些三次高斯和的结果可以以一种非常特殊的方式分开，其中一半位于？页和 2？页，三分之一介于？？页和 ？页，最后的六分之一在？2？之间页和 ？？页。
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他曾手工计算出对应于前 45 个非平凡素数的三次高斯和，这个猜想看起来不错。但他无法证明它——没有人能证明。事实上，直到 20 世纪 50 年代初，随着计算机时代的到来，数学家们才开始考虑再次研究它。
当他们最终确认后，发现了意想不到的事情。库默尔完全错了。
?计算涉及大约 1500 万次乘法，包括上述检查。页以 200 个区块为单位引入。整个计算进行了两次以确保可靠性？约翰·冯·诺依曼和赫尔曼·戈德斯坦在他们的 1953 年论文关于库默尔猜想。
他们选择这个问题，是为了巧妙地测试他们被允许玩的一个新玩具：第一台可编程、电子、通用数字计算机，于 1945 年制造，名为埃尼亚克验证库默尔的正确性只是额外的收获。借助这个数字大脑，他们与物理学家兼程序员海德维格·塞尔伯格 (Hedvig Selberg) 一起，成功略微改进了库默尔的 45 次求和，计算出了小于 10,000 的素数的结果。
随着数字的增加，这种模式就消失了。“结果似乎表明，密度与推测值有显著偏差，而且趋向于随机性，”冯·诺依曼和戈德斯坦写道。
帕特森猜想
但一千个左右的例子并不能证明这一点，而且又过了十五年，库默尔猜想才被证实。最终被证伪负责这项工作的两位数学家——数论学家塞缪尔·帕特森和他的研究生罗杰·希思-布朗——证明了三次高斯和在数轴上确实均匀分布。某种程度上。
这是什么意思？帕特森以前处理这个问题的方法与他的前辈略有不同：他决定看看如果将三次高斯和的值相加会发生什么。一组X他发现，高斯和大约等于X5/6? 也就是说，大于平方根X，但小于X本身。
这告诉他一些重要的事情。早期的数学家已经证明，一组真正随机的结果加起来约为±？X。因此，总共找到X5/6意味着总和基本上是随机的，但是有一个额外的小因素使得它们为正数的可能性比为负数的可能性略高。
如果真是这样，那么一切都会得到解释——为什么库默的结果看起来如此不随机，为什么随机性会随着计算的素数数量而增加。这是一个渐近线问题：在较小的尺度上，额外的因素足以对结果产生明显的影响，但随着X变得越来越大，它压倒了其他一切，你所看到的只有随机性。
只有一个问题：他无法证明这一点。帕特森猜想X5/6结果公布后，已经取代了库默尔猜想——但主要问题仍然悬而未决。
但数论学家也许是独一无二的，希思-布朗继续研究这个问题二十多年。2000 年，他发表了一篇论文描述了一种新的筛选法——数学家用这个术语来描述通过消元法工作的算法——他认为这种方法最终可以用来证明帕特森猜想。
他甚至还勾勒出了一种改进筛子的可能方法——使其更锋利、更精确。他推测，这种方法足以最终解决这个已有 150 年历史的难题。但仍然没有人能想出如何做到这一点——现在我们知道原因了。
证明帕特森猜想
拉齐维告诉《Quanta》：“经过非常非常复杂的工作，我们终于能够证明 1 = 2。我确信我们的证明存在错误。”
但他们并没有犯错：希思-布朗和他之前的库默一样，都被证明是错的。他的“改进”筛法根本不是那样的东西——如果拉齐维和邓恩要解决帕特森的猜想，他们就需要回到最初的立方大筛法。
“我认为这是没人能解决帕特森猜想的主要原因，因为这个希思-布朗猜想误导了所有人，”拉齐维告诉 Quanta。“我想，如果我告诉希思-布朗他的猜想是错的，那么他可能会想出解决办法。”
因此，在了解了之前的尝试失败之处后，Radziwi?? 和 Dunn 创造了历史：他们的论文终于解决了困扰数论学家近两个世纪的一个问题。而且，在它被完全、彻底地证明之前，只剩下一个小问题需要解决。
“我们证明中的一个重要因素是三次高斯和的色散估计，”两人在论文中指出。“这个估计依赖于广义黎曼假设，这也是我们的结果是有条件的根本原因之一。”
所以现在我们需要的只是黎曼猜想的证明，一切就都解决了。， 正确的？
