民主，如果溫斯頓·丘吉爾可以相信，是政府最糟糕的形式 - 除了所有已嘗試的其他形式。這告訴我們兩件事：有時候，您必須採取最不好的選擇，而丘吉爾不是數學家。
為什麼？好吧，如果政治家更熟悉- 或更確切地說，理論上的經濟學 - 然後他可能知道，民主實際上是不可能的。或者至少，這就是經濟學家肯尼斯·阿羅（Kenneth Arrow）的著名結果，似乎有足夠的說服力，即使在1972年的頒獎典禮上，諾貝爾委員會也授予他獲得經濟學獎的頒獎典禮，描述定理“相當勸阻”。
但是Arrow的定理真的很悲觀嗎？ Arrow本人並不這麼認為 - 當今的專家也不是。因此，結果是什麼實際上說？而且，也許更重要的是……這是什麼意思？
什麼是Arrow的不可能定理？
想像一下，您的任務是從頭開始創建一個國家。你知道你希望這個新國家成為一個- 但具有諷刺意味的是，您和您的創始人與選擇哪種確切形式的規則形式相矛盾。
你什麼能不過，同意是您系統的一系列更通用的標準。實際上，它們是常識：首先，您希望它具有“不受限制的域” - 一種奇特的說法，您希望它每次都會真正產生結果；其次，這不是獨裁政權，因此沒有一個投票可以覆蓋其他任何一票。第三，您希望任何一個候選人都可以擊敗任何其他候選人，只要他們獲得正確的選票組合 - 不允許候選人。
最重要的是，關於您的人口，您將有一些事情。再說一次，他們沒什麼好古怪的：首先，他們的偏好將是傳遞的 - 因此，如果他們更喜歡候選人A而不是候選人B，而候選人B和候選人C，那麼他們必須也更喜歡候選人A而不是候選人C；最後，他們將決定“獨立於無關的替代方案” - 因此，如果候選人D突然進入競爭，那就不會導致人們決定他們現在更喜歡B而不是A。
基本上，您認為您的民眾是理性的，並且您的投票系統是明智的。似乎並沒有太多要問的事情 - 但這是事實：根據Arrow的說法，這是完全不可能的。
“ Arrow的定理[…]可以解釋為說沒有完美的投票規則。”伊迪絲·埃爾金德（Edith Elkind），，，，
“更詳細地，Arrow的定理考慮了至少有三名候選人的設置，每個選民都報告了這些候選人的排名（從最佳到最差，不允許聯繫），目標是總體排名，” Elkind告訴Iflscienciencienciencienciencienciencienciencience。 “定理的聲明是，沒有投票規則滿足所有這些條件。”
讓我們考慮一個例子。假設我們有三名候選人和三名選民 - 盡可能簡單地設置 - 我們在排名的投票系統中工作。選民一個人更喜歡候選人A而不是候選人B，而候選人B則偏向於候選人C。選民有兩個更喜歡候選人B而不是候選人C，而候選人則是候選人A。
您已經可以看到我們處於僵局。沒有辦法滿足小組的要求：總體而言，他們更喜歡A，而B，B到C，和C到A。
通常，您通常無法取悅所有人，有時甚至是您甚至無法取悅大多數人的情況。
本·艾布拉姆斯
當然，如果您居住在美國或英國，您可以回复，這就是為什麼我們不使用排名的投票系統的原因。但這是踢腳：箭頭定理適用於全部從第一步的系統（通常打破了無關替代標準的獨立性到即時投票，到單個可轉讓的投票系統等），基於排名的系統（通常都打破了無關的替代標準）。
“箭頭和類似學者的表現是，排名選擇的投票系統無法完美地製造。”本·艾布拉姆斯，倫敦大學學院社會學的講師，其研究重點是民主，民粹主義和革命。 “在投票群體分裂的群眾群體中，總是有機會取得不完美的結果。”
他告訴iflscience，“通常情況下，您通常無法取悅所有人，有時候您甚至無法取悅大多數人。”
那麼，民主不可能嗎？
傳統上，正是在這一點上，讀者開始感到有些絕望。民主注定要失敗；這是官方的，數學已經證明了這一點。也可以建立獨裁統治並克服。但是真的是這樣嗎？
“一點也不！”艾布拉姆斯告訴iflscience。 “箭頭非常支持民主，所有使用他的工作的人也是如此。”
實際上，有幾種方法可以解決箭頭結果的“問題”。首先，您可以注意到該定理僅適用於基於排名的系統 - 雖然這可能是我們最熟悉的那種系統，但這並不是唯一的投票方法。
艾布拉姆斯指出：“還有其他系統，例如基於評級的系統（實際上是在聯合國使用的類型），這些系統不會犯錯。
增加我們做出的假設數量也可以提供幫助。例如，“如果所有候選人都可以放在左右軸上，並且所有投票都與此軸一致[…]，那麼還有一條規則可以規避箭頭的不可能結果，” Elkind告訴Iflscience。
從字面上看，阿羅的規則適用於一個相當具體的情況，這與政治中發生的情況不太匹配[...]我們想要贏家，而不是集體排名。
伊迪絲·埃爾金德（Edith Elkind）
換句話說，如果您可以假設一個選民的最高偏好是伯尼·桑德斯（Bernie Sanders）的選民也會對卡馬拉·哈里斯（Kamala Harris）進行排名，那麼您可以避免否則會產生的對峙箭頭定理。就像原來的一組條件一樣，創造了悖論，而不是一個古怪的假設，雖然“只有在沒有選民提交的投票與軸心不一致的投票中，它只能正式保證工作，但如果幾乎所有選民的排名與Axis都一致，它仍然可以很好地工作。”
整齊地使我們成為限制Arrow定理影響的最重要因素：現實生活。
埃爾金德（Elkind）告訴iflscience：“從字面上看，箭頭的規則實際上適用於相當具體的情況，這與政治中發生的情況不太匹配。”她指出，在現實世界中，“我們希望獲勝者，而不是集體排名。”
像所有理論上的結果一樣，定理設定在一個充滿明智的演員的完美世界中 - 選民從未在戰術上排名他們的選擇，或者基於共鳴或魅力進行投票。艾布拉姆斯說：“箭也非常關心'獨裁者'的'獨裁者'，他們的投票可以決定全部選舉，但實際上，您並不經常得到他們，即使您這樣做時，他們也只會在事實之後出現，因此他們不知道自己的影響力（並且在秘密投票的情況下可能永遠不會）。”
箭頭的觀點
所有這些都導致了一個最終的問題：這一切有什麼意義？
埃爾金德（Elkind）告訴iflscience：“之所以重要的是，它告訴研究人員和從業人員，尋求完美的意見聚合方法是沒有希望的。” “在發現它之前，人們一直在發現現有投票規則的錯誤，然後試圖調整它們以避免這些特定的缺陷；這導致了更複雜的投票規則，後來在某些情況下發現了不良行為，並被更複雜的規則所取代。”
“儘管Arrow的定理並沒有完全停止此過程（在21世紀提出了投票規則），但它表明我們不能希望匯聚到一條總是產生不可避免的集體決定的規則。”
換句話說，箭頭的不可能定理可以被認為是一種政治不完整定理- 結果說，嘿，有時候，沒有完美的解決方案。儘管這聽起來令人沮喪，但實際上這是一個非常重要和有影響力的結果：在正式官方範圍內的理想之外，學者可以專注於發展全新的社會選擇理論。實際上，它是如此深刻的從那以後被描述作為現代社會選擇理論的“大爆炸”。
另外，Arrow的定理在政治之外廣泛應用。艾布拉姆斯說：“它可以應用於各種群體決定事物的情況，因此，從福利經濟學到哲學，您會看到它在許多不同的情況下出現。”
因此，當您和您的朋友出去並試圖決定要吃哪家餐廳？那是箭頭定理。如果您試圖根據實用程序創建法律或道德選擇，則可能會再次與Arrow的定理相對。埃爾金德（Elkind）告訴iflscience，無論是在政治上還是在各種比賽（例如，歐洲電視網），根據專家的意見等產生大學排名，這是相關的。 ”
最終，艾羅的不可能定理真的像諾貝爾委員會所宣布的那樣“令人沮喪”嗎？並非如此 - 實際上，它遠非民主的終結，它啟動了一個全新的投票研究領域。
也許更樂觀的觀點是Arrow本人的觀點。在獲得經濟學獎的同年，他在諾貝爾紀念演講中承認，對排名投票的條件可能是“相互矛盾的”，“哲學和分佈的含義[…]仍然不清楚。”
儘管如此，他說，放棄不是答案。他總結說：“我希望其他人將這個悖論作為挑戰，而不是令人沮喪的障礙。”
