本文由纽卡斯尔大学的 Jonathan Borwein 撰写，最初发表于对话。
圆周率日对于那些以 3/14（3 月 14 日）格式记下今天日期的人来说，又来了。 但与其谈论圆周率日本身，不如我去年做过，今年我想谈谈 Pi 和数学概念美丽。
还有什么比谈论 18 世纪欧洲学者更好的方法呢？伦纳德·欧拉著名公式：
注意e是自然对数的底数，我是 -1 的平方根的符号，稍后解释。
通常被描述为“数学中最美丽的公式”，欧拉似乎从来没有真正写下来——数学中的命名约定有点狡猾。相反，这是欧拉发现指数增长和圆周运动等效的一个特例，由以下公式给出：
这个公式通常被称为 cis，将 cos 和 sin 组合在一起，并且 ? 是希腊符号Theta。
美国理论物理学家理查德·费曼致电这是“数学中最引人注目的公式”。
艾德·桑迪弗 (Ed Sandifer) 创始人欧拉学会，有一个可爱的2007年文章详细讨论欧拉用了 40 多年的时间来证明上述公式是如何运作的。 我将尝试用很少的符号来讲述这个公式的故事。
公式的作用是什么
欧拉公式涉及五个基本常数：0、1、我,e、和 Pi，并添加等号、加法和指数，以一种神秘而有用的方式将它们组合成一个七个符号的单词。 等价地，也可以写成：
欧拉公式再次被重写。
这更加简洁并引入了负数。
数学的一个共同特征是，发现往往首先被使用，然后才被理解。 正如18世纪法国数学家让·达朗贝尔写道：“代数是慷慨的，她给予的常常比我们要求的多。”
让我讨论一下欧拉公式的构建模块 2000 年的历史。 您不必了解实际的数学，只需了解公式各个元素的起源以及它们如何巧妙地组合在一起即可。
平等 (=)
= 符号归因于威尔士科学家罗伯特·雷科德1557 年。关于数学中平等含义的争论反映并推动了更广泛地关于哲学中明确描述的讨论。
英国逻辑学家伯特兰·罗素著名的例子是，被描述为晨星和昏星。 数学中一个被过度讨论的例子是 0.99999999 是否？ 和 1 相等。 他们是，又不是。
零 (0)
虚无、虚无或无限的概念可以追溯到更早的时候，但希腊人和其他人还没有发现使用“0”进行操作的规则。 数学上易于处理的概念零归功于伟大的印度思想家婆罗门笈多公元650年左右。
当与印度发现的位置表示法相结合时，计算变得更加容易。 这种能力直到15世纪及以后才完全传入欧洲。
1
没有“1”就没有高级算术。 有了“0”和“1”，我们也就有了二进制计数法和现代数字计算机。 美国理论物理学家约翰·阿奇博尔德·惠勒所说的“它来自比特”。
这导致了现代群论、代数、密码学等等。
我
虚数的使用也很大程度上可以追溯到 16 至 17 世纪。 法国哲学家、数学家勒内·笛卡儿贬义地使用了这个词。
我们现在认为理所当然的数学概念有时需要几个世纪的时间才能被采用和理解。 难怪小学生会叛逆。 欧拉和后来的德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯真正利用虚数，使“虚数”一词具有积极的数学内涵。
定义'我' 因为 -1 的平方根有一个奇妙的结果：n 次多项式有 n 个（复数）根。 例如x4-1 = (x+1) (x-1) (xi) (x+i)，有四个根。 这导致了现在所谓的复杂分析。
大多数现代数学和数学物理（例如量子理论）如果没有复杂的分析就无法完成。
圆周率（？）
Pi 源自半径为 1 的圆的面积或直径为 1 的圆的周长。 伟大的希腊数学家锡拉丘兹的阿基米德（公元前 287-c212）使用这个想法为 Pi 提供了 22/7 的近似值（3.141592？）。
欧拉发现了现代定义，将 Pi/2 视为余弦函数的最小正零，该余弦函数由所谓的泰勒级数。 这有点复杂，但如果你只是认为这个系列是一个非常大的多项式你就会明白了。
Cis 作为两个泰勒级数。
这里n！ = 1 x 2 x ? xn 称为 n 的阶乘。 这是 17 世纪的另一项发现。
e
常数 'e' 起源于 17 世纪，作为自然对数的底数，精确到小数点后三位是 2.718？，尽管像 Pi 一样，它是一个超越数并继续，不重复到无数小数位。
欧拉大师我们所有人 - 谁给“pi”和“命名”e” - 意识到eX还有花花公子泰勒系列：
指数函数。
然后将 theta (?) 设置为 1，给出 e 的有效公式。
现在我们知道了所有的构建块，我们在第二个方程（上面）中需要做的就是将 Theta 设置为 Pi，并使用一点三角函数，知道 sin (?) = 0 和 cos (?) = -1，然后减少公式一步一步，弹出原来漂亮的公式。
什么是数学美？
正如您所看到的，为了使公式看起来很漂亮，有必要了解其中的元素，至少是粗略地了解。
伯特兰·罗素在他的《西方哲学史》中这么说吧:
“正确地看待数学，不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美——一种冷酷而朴素的美，就像雕塑的美，不会吸引我们脆弱本性的任何部分，没有绘画或音乐的华丽装饰，但却极其纯粹，能够达到只有最伟大的艺术才能展现的严格完美。”
大多数数学家都会同意，一个漂亮的公式必须是出人意料的、简洁的和有用的——在专业数学家所认可的稀有意义上。
当被迫时，大多数数学家都会将阿基米德、高斯和欧拉列为有史以来排名前五的数学思想家。 另外两个是艾萨克·牛顿（用于微积分和力学）和伯恩哈德·黎曼（对于黎曼假设和黎曼几何）。
有了这三位杰出的思想家和基本常数的参与，难怪欧拉公式被推崇为数学中最美丽的公式。
乔纳森·鲍温（乔恩），数学桂冠教授，纽卡斯尔大学。
