还记得您在学校使用的图形纸，那种覆盖着小方块吗？
这是数学家所说的周期性空间瓷砖的完美说明，形状覆盖了整个区域，没有重叠或间隙。
如果我们将整个图案的长度移动（翻译为翻译）或将其旋转90度，我们将获得相同的图案。那是因为在这种情况下，整个瓷砖具有与单个瓷砖相同的对称性。
但是，想象一下用五角大州而不是正方形铺平浴室 - 这是不可能的，因为五角星不会在不离开缝隙或彼此重叠的情况下融合在一起。
图案（由瓷砖组成）和晶体（由原子或分子组成）通常像一张图纸一样周期性，并且具有相关的对称性。
在所有可能的安排中，这些定期安排在本质上是首选的，因为它们与组装所需的最少能量相关联。实际上，我们只知道，从晶体中可以存在几十年的晶体中，从而产生永不重复的模式。
现在我和我的同事有制作了一个可以帮助理解的模型如何表达这一点。
在1970年代，物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）发现，有可能从五角大楼的角度和侧面从两种不同的形状制成图案。当旋转72度角时，这看起来相同，这意味着如果将其转动360度，则从五个不同的角度看起来相同。
我们看到，在这种模式下，许多小斑块都重复了很多次。例如，在下图中，一遍又一遍地重复五点橙色的星星。
但是在每种情况下，这些恒星都被不同的形状包围，这意味着整个模式永远不会沿任何方向重复。因此，该图是具有旋转对称性但没有翻译对称性的模式的一个示例。
在三个维度上，事情变得更加复杂。在1980年代，丹·谢赫特曼（Dan Schechtman）观察了一种铝合金合金非周期性模式在以相同72度角旋转时仍具有旋转对称性的所有方向上。
在此之前，实际上不可想象的是没有翻译对称性但具有旋转对称性的晶体 - 许多科学家都不相信这一结果。实际上，这是“ w”定义的罕见情况之一帽子是“由于新的发现，必须改变晶体。根据一致，这些晶体现在被称为'Quasicrystals'。
非理性数字
准晶体的永不重复模式源于其构造的核心数字。在常规的五角大楼中，您可以在五角大楼内部，实际五角大楼的侧面刻有五点恒星的侧面长度的比率是著名的非理性数字“ phi”（不要与PI混淆），约为1.618。
这个数字也称为黄金比率（并且它也满足关系phi = 1+1/phi）。因此，当准晶体由衍生自五角大楼的瓷砖（就像彭罗斯所用的瓷砖）构造时，我们会在72度角以72度角度观察到旋转对称性。
我们在准晶体的图像中看到了这五倍的对称性，这是中央红点周围的十个径向线（上），也是用与Quasicrystal中心部分的比例模型Zometool（以下）。
在模型中，它有助于认为白球是我们发现晶体结构的颗粒/原子以及红色和黄色棒的位置，以指示粒子之间的键，这代表了结构的形状和对称性。
在我们最近的出版物中，我们确定了系统为形成3D准晶体所必须具有的两个特征。首先是在系统中都出现在适当的非理性比率（如PHI）的两个不同尺寸（长度尺寸）的模式。
其次，这些可以互相强烈影响。除了从未重复进行的准晶模式外，该模型还可以形成其他观察到的常规晶体结构，例如六边形，以身体为中心的立方体等。
这样的模型可以探索所有这些不同模式之间的竞争，并确定在自然界中形成准晶体的条件。
如何创建这种永不重复的模式背后的数学对于了解它们的形成方式，甚至在使用特定属性设计方面非常有用。这就是为什么我们在利兹大学以及其他机构的同事们对此类问题的研究着迷的原因。
但是，这项研究不仅是一个概念性的数学思想（尽管其背后的数学是令人上瘾的） - 对于许多实际应用，它具有巨大的希望，包括提高非常有效的效率准晶激光器。这是因为，当在激光器中使用周期性晶体图案时，通过重复模式的对称性产生了低功率激光束。
在激光器的输出末端使用永不重复的准晶模式，在晶体模式中存在缺陷，这使得可以创建具有高峰值输出功率的有效激光束。
在其他应用中，一些研究人员甚至考虑了准晶体可能会添加到家用涂料中的反射效果。
Priya Subramanian，研究研究员数学，利兹大学。
