还记得你在学校使用的方格纸吗？那种上面覆盖着小方块的方格纸？
这是数学家所说的空间周期性平铺的完美例证，形状覆盖整个区域，没有重叠或间隙。
如果我们将整个图案移动一个图块的长度（平移它）或将其旋转 90 度，我们将得到相同的图案。 这是因为在这种情况下，整个瓷砖与单个瓷砖具有相同的对称性。
但是想象一下，用五边形而不是正方形来铺设一间浴室 - 这是不可能的，因为五边形无法在不留下间隙或相互重叠的情况下组合在一起。
图案（由瓷砖组成）和晶体（由原子或分子组成）通常像一张方格纸一样具有周期性，并且具有相关的对称性。
在所有可能的布置中，这些规则的布置本质上是优选的，因为它们与组装它们所需的能量最少有关。 事实上，我们只知道非周期性平铺（它会产生不重复的图案）可以在晶体中存在几十年。
现在我和我的同事们做了一个模型可以帮助理解这是如何表达的。
20 世纪 70 年代，物理学家罗杰·彭罗斯 (Roger Penrose) 发现可以用两种不同的形状（具有五边形的角度和边）制作出图案。 当旋转 72 度角时，它看起来是一样的，这意味着如果将其旋转 360 度整圈，从五个不同的角度看起来都是一样的。
我们看到许多小块的图案在这个图案中重复了很多次。 例如，在下图中，五角橙色星星一遍又一遍地重复。
但在每种情况下，这些星星都被不同的形状包围，这意味着整个图案在任何方向上都不会重复。 因此，该图形是具有旋转对称性但没有平移对称性的图案示例。
彭罗斯瓷砖。 普热梅克·马耶夫斯基
在三个维度中事情变得更加复杂。 在 20 世纪 80 年代，Dan Schechtman 观察到一种铝锰合金非周期模式当旋转相同的 72 度角时，所有方向仍具有旋转对称性。
在此之前，没有平动对称性但具有旋转对称性的晶体实际上是不可想象的——许多科学家并不相信这个结果。 事实上，这是“W”定义的罕见场合之一由于新的发现，“帽子是晶体”必须改变。因此，这些晶体现在被称为“准晶体”。
无理数
准晶体的永不重复的模式源于其结构核心的无理数。 在正五边形中，可以刻在五边形内部的五角星的边长与实际五边形的边长之比是著名的无理数“phi”（不要与 pi 混淆） ，约为 1.618。
这个数字也被称为黄金比例（并且它还满足关系 phi = 1+1/phi）。 因此，当用源自五边形的瓦片（如彭罗斯使用的瓦片）构造准晶体时，我们观察到 72 度角的旋转对称性。
准晶格结构。 作者提供
我们在准晶体的图像中看到了这种五重对称性，即围绕中心红点的十条径向线（上图），并且在由佐梅工具（以下）。
在模型中，将白球视为我们可以找到晶体结构的粒子/原子的位置，红色和黄色棒表示粒子之间的键，代表结构的形状和对称性。
在我们最近的出版物中，我们确定了系统形成 3D 准晶体必须具备的两个特征。 第一个是系统中同时出现两种不同尺寸（长度尺度）且具有适当无理比（如 phi）的模式。
其次，这些可以相互强烈影响。 除了永不重复的准晶体图案外，该模型还可以形成其他观察到的规则晶体结构，例如六边形、体心立方体等。
这样的模型使得探索所有这些不同模式之间的竞争并确定准晶体在自然界中形成的条件成为可能。
准晶体的结构。 作者提供
如何创建这种不重复的图案背后的数学对于理解它们是如何形成的，甚至在设计具有特定属性的图案时非常有用。 这就是为什么我们利兹大学以及其他机构的同事热衷于研究这些问题。
然而，这项研究不仅仅是一个概念性的数学思想（尽管其背后的数学令人上瘾）——它对许多实际应用有很大的希望，包括使准晶激光器。 这是因为，当在激光器中使用周期性晶体图案时，通过重复图案的对称性产生低功率激光束。
在晶体图案中存在缺陷，或者在激光器的输出端使用不重复的准晶体图案，可以产生具有高峰值输出功率的高效激光束。
在其他应用中，一些研究人员甚至正在考虑将准晶体添加到家用油漆中可能产生的反光饰面。
普里亚·萨勃拉曼尼安，应用数学研究员，利兹大学。
