50多年后，数学的“沙发问题”可能终于得到解决

在数学世界中，有两件事始终成立：首先，一些最顽固和最复杂的问题往往在现实世界中有着令人惊讶的应用；其次，对于那些实际上花费所有时间的人来说在在现实世界中，这些问题似乎……嗯，。

以“沙发问题”为例：这个难题几十年来一直困扰着数学家，而且几乎所有搬过家的人都“解决”了这一难题。这是一个关于如何将弧形沙发移动到 90 度角的问题 - 是的，就像那一集一样朋友们你们现在都在引用。

移动的数学

从技术上来说，沙发的问题是这个：在宽度为 1 的走廊中，可围绕直角移动的最大面积区域是多少？最早被正式表述为1966年由奥地利裔加拿大数学家利奥·莫泽 (Leo Moser) 提出——尽管在此之前，这个问题多年来一直是围绕数学饮水机的讨论话题——但直到现在，还从未得到最终解决。

现在，您会注意到，此表述中没有提及同名长椅，实际上，作为解决方案建议的第一件“家具”实际上是一架“钢琴”。尽管如此，“沙发”这个术语很快就流行起来，主要是因为——好吧，看看它：

正是对下限的确定催生了标志性的沙发形状：在 1968 年的一篇论文中，我们没有骗你，论“现代数学”和学校和大学中类似的软知识垃圾对数学技能的削弱约翰·哈默斯利 (John Hammersley) 通过一些相对简单的微积分表明，该形状的面积为 (π/2) + (2/π) – 大约为 2.2074。

事实上，他走得更远。在同一篇论文中，他证明了该面积的上限由 2√2 给出——大约为 2.8284。虽然只过了几年，但沙发问题已经有了解决方案：确切的数字尚未确定，但数学家知道它必须在这两个值之间。找到真正的答案肯定不需要做更多的工作吗？

然而，25 年过去了，哈默斯利的弹跳仍然是我们最好的。直到罗格斯大学数学家 Joseph Gerver 站出来，提供了一张由 18 块材料制成的沙发连接的曲线部分。众所周知的“Gerver 沙发”将下限提高至 2.2195。

又过了四分之一个世纪，可能的解决方案的范围才会进一步缩小：2018年，数学家 Yoav Kallus 和 Dan Romik 使用计算机辅助证明将上限降低至 2.37。

这对哈默斯利最初的界限来说是一个很大的改进——但这个精确的解决方案仍然无法被捕获。

白克在比赛中

大约在卡勒斯和罗米克研究解决方案的同时，韩国首尔延世大学的博士后研究员 Jineon Baek 第一次开始思考沙发问题。现在，七年后，他认为他已经在尚未经过同行评审的证明中破解了这个问题。

“我为此投入了大量时间，但到目前为止还没有发表任何文章，”他告诉新科学家。 “现在我可以向世界说，我为这个问题做出了一些有价值的贡献，这一事实正在得到证实。”

对于一个如此容易陈述和想象的问题，白的证明并不是一件容易的事。它横跨 100 多页，它的作用远远不只是简单地暴力解决问题或不断地削减更小的区域。相反，罗米克告诉《新科学家》，这是一个“奇妙的发展”。

“我知道我永远不可能做到这一点，”罗米克说。 “我没有后悔的感觉，或者说，我怎么能错过这个，因为很明显，这不是我认为我能够想到的那种想法。 [Baek] 只是从一个完全不同的方向来解决这个问题。”

无需深入讨论细节，证明是这样的：首先，Baek 说，最佳沙发，无论结果是什么，都必须具有三个特定属性 - 它必须是单调的、平衡的，并且具有旋转角度π/2。同样，这些定义是相当技术性的，但本质上可以归结为：到目前为止我们使用的“沙发”已经几乎是正确的形状了。

其次，Baek 开始证明这张沙发如何移动到拐角处的条件——虽然是一件小事，但对于完成最后一步至关重要：定义这张沙发面积的上限，然后证明它等于 Gerver 的面积上限下限。

没错：32 年后，事实证明 Gerver 一直都是对的。

“我当然对这一切感到非常高兴，”格弗告诉《新科学家》。 “我已经75岁了，白不可能超过30岁。他比我有更多的精力、体力和存活的脑细胞，我很高兴他接过了接力棒。”我也很高兴我活得足够长，能够看到他完成我开始的事情。”

把脚抬起来

那么，沙发问题现在解决了吗？嗯，从技术上讲，这还有待观察。与所有数学证明一样，它需要经过同行评审以确保准确性——Baek 对此暗暗抱有希望。

“我不能说我百分百有信心，因为我们是人类，我们会犯错误，”他告诉新科学家。 “但是，我还是尽了最大努力让自己变得自信。”

但如果您自己解决沙发问题的希望因这个消息而破灭，请放心：既然 Baek 如此严格地定义了他的沙发，您随时可以为自己选择不同的形状。

当然，它可能不太适合你的客厅沙发，但你可能会说，没有什么能阻止你去……白去画板。

证据可以找到在 ArXiv 预印本服务器上。