欢迎来到 2025 年！美好的一年，充满了美好的事物。显然，我们不是在谈论地球的状况——而是，考虑到所有事情。但数学呢？那是令人愉快的。
让我们从关于这个新年的最简单的事实开始：2025 年是一个完美的四分相。它等于 45 × 45，这意味着如果我们画一个边长为 45 个单位的旧正方形，总面积将为 2025 个单位平方。
不信的话就数数吧。
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但这还不是全部：因为它是一个奇数正方形，所以它也是一个居中的八边形数 - 这与平方数非常相似，正如它听起来的那样：这意味着我们可以画一个完美的正好使用 2025 块。
我们还可以变得更复杂：2025 是一个九角形数字（对于你们中少数不熟悉形状名称的人来说，这当然是一个 19 边形）。对我们来说不幸的是，它是一个负的九角形数——-15——所以它有点不可能画出来。
不过，我们知道这是正确的，因为所有九角形数均由以下公式给出：
氮米=米(17米- 15)/2
和扑通扑通米= -15 进入这个配方，我们得到 2025。
2025年的名字
除了正方形、八角形和九角形之外，2025 还有一些漂亮的名字。这是一个强大的数字：一个整数米这样如果p|米， 然后p2|米。原因很简单——452，等于 (32）2×52——或者换句话说，它的每个素因数至少出现两次。
它也是一个可重构的数字，或 tau 数字，这意味着它可以被它所具有的除数的数量整除。举一个更简单的例子，想想 18：它有 6 个约数——1、2、3、6、9 和 18——并且可以被 6 整除。同样，2025 年有 15 个因子，其中之一确实是 15——整个列表，根据记录，为 1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405， 675 和 2025。
2025年的定理
让我们开始讨论好东西吧？我们已经看到 2025 年是一个完美的正方形，但再深入一点，我们会看到一些更漂亮的图案。四十五，这个数的平方根，也是一个三角数，并且那意味着我们可以把它写成连续数字的和。像这样：
45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9。
这意味着
2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)2,
这当然很好，但这还不是全部。感谢古希腊的追随者尼科马科斯对于生活在公元 60 年到公元 120 年之间的人来说，我们知道可以这样写的数字——三角形数字的平方——还有另一个有趣的特性：它们可以重写为这些相同数字的立方之和。换句话说，因为
2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)2,
我们也知道
2025 = 13+ 23+ 33+ 43+ 53+ 63+ 73+ 83+ 93。
那不是很酷吗？有几种方法可以证明这一点——最好的方法之一就是这个无文字的证明：
整洁吧？
另一种方法是利用平方数和立方数本身的性质——事实上，这才是老尼马科斯真正获得功劳的地方，而不是注意到定理本身。他的同名结果退了一步，从技术上讲是这样的：
∀nε氮>0：n3=（n2-n+1) + (n2-n+3) + … + (n2+n−1)。
这可能看起来……好吧，就像它是用另一种语言编写的，而且确实是这样，但实际上它只是意味着任何数字n立方可以写成n从 ( 开始的连续奇数n2-n+1）。像这样：
1 = 1
8 = 3 + 5
27 = 7 + 9 + 11
64 = 13 + 15 + 17 + 19
125 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29
等等。
现在，像这样写出来，您可能已经看到了一个很好的模式，对吗？如果你总结第一条k数字的立方，你会得到
13+ 23+ 33+ … +k3= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + (k2-k+1) + (k2-k+3) + … + (k2+k−1)。
但现在让我们看一下平方数。它们也有类似的模式——可以这样写：
1 = 1
4 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5
16 = 1 + 3 + 5 + 7
25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
等等——即，的平方n等于第一个的总和n奇数。
但你猜怎么着？我们之前找到的总和是正是如此– 这是第一个 (k2+k)/2 个奇数！换句话说，
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + (k2-k+1) + (k2-k+3) + … + (k2+k−1) = ((k2+k)/2)2。
所以只剩下一件事需要证明，那就是（k2+k)/2 等于第一个的总和k自然数。幸运的是，这非常简单 - 这是三角形数的定义（或者，如果您愿意，您可以直观地完成：
三角形数字（阴影部分）是一半nx (n+1) 矩形。
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不管你如何证明这一点，没有说谎：(n立方）等于（总和n) 的平方。现在正是对这个美好的小结果赞不绝口的好时机，因为 2025 年完美地证明了这一点。新年快乐！
