有没有想过为什么 Google 的员工要花这么多时间来计算 1100 亿位的 pi？为什么像三分之一这样的数字可以这么简单地写成分数，但不可能写成小数形式？或者为什么有一个数字字面意思就是“e”？
好吧，我们已经有了答案——但要小心：事情会变得有点不合理。
什么是无理数？
无论您是否听说过“无理数”这个术语，您几乎肯定已经知道一些例子。皮,，可能是最著名的：圆的直径与其周长之间的比率。然后还有e– 不是这封信，而是，几乎在人们测量增长或衰退的任何地方都可以看到，写下，或（足够适当）变得精神错乱。
二的平方根，又名 √2，也是无理数，它的邻居 √3 也是无理数（我们稍后会讲到）。然而，四的平方根绝对不是。任何数字的无限小数展开式 – 0.111…、0.222…、0.333…等等 – 这些都不是无理数。但是0.123456789101112……？所以不合理的。
我们怎么知道？那么，无理数——以及它们的对立面，有理数——只有一个属性来区分：它们可以写成两个整数的比吗？
“我们知道的最简单的数字就是整数：一、二、三、四等等，”数论学家（菲尔兹奖得主！）詹姆斯·梅纳德 (James Maynard) 在 2019 年的视频中解释道。数字爱好者。
“稍微复杂一点的是有理数，它们只是整数的比率或分数，”他继续说道。 “那么，二分之一，三分之一，三分之二……”
考虑到这个解释，您可能不会惊讶地发现非理性的那么，数就是一个可以不是写成两个整数的分数。以 pi 为例：您可能见过它表示为数字 3.14，或者如果您感觉特别阿基米德，分数 22/7。但这些都不准确——事实上，只有一种方法可以准确地写出 pi 的值，就像这样：π。
“我们已经已证实的你不能把它写成两个整数的比率，”梅纳德说。 “事实上[……]在很多方面，大多数数字不能只写成两个整数的比率。”
无理数是什么样的？
现在我们知道什么是无理数，什么不是，我们如何在野外发现它们呢？
嗯，一个很好的线索是——比如 pi，e、phi、tau 等等——它们不是用数字书写的，而是用字母书写的（尽管通常是希腊字母）。那不是总是但情况是：物理常数是，还有他们不可能非理性，因为它们来自自然，而不是逻辑。
另一个明显的迹象表明，一个数字可能无理数是指它的十进制扩展后面跟着一个点-点-点。 “[一个]表达式[如 3.14159…] 的意思是：我对 pi 有很多不同的近似值，它们变得越来越准确，”梅纳德说。
“所以也许第一个近似值是 pi 大约等于 3，然后第二个近似值是 pi 大约等于 3.1，即 31/10，然后更好的近似值是 pi 大约等于 314/100， 3.14 等等，”他解释道。 “这确实是我们所说的无理数；我们通常不能以一种非常简单的方式唯一地定义它，但我们可以通过一系列简单的近似来定义它。”
但同样，这也远非万无一失。例如，任何具有重复模式的十进制扩展都是有理数：0.333…等于 1/3，因此它是有理数； 0.857142857142857142…等于6/7，所以是有理数； 1.982456140350877192982456140350877192982456140350877192 - 它每18位重复一次，如果你找不到它 - 等于113/57，所以这又是有理数。
平方根通常是无理数——事实上任何素数的平方根都被证明是无理数——就像最普通的根一样。显然，这并不总是正确的：任何平方数的平方根都是有理数，例如，n任何的根n次幂。
然后，数学家们一路上捡到了一些看似随机的例子——其中许多都有非常具体的符号，这些符号直接来自它们最初的设计方式。但绝大多数无理数没有任何特殊的符号来区分它们，因此确定它们是否无理数的唯一方法就是亲手证明。这相当困难，这就是为什么有些数字你真的会认为必须从技术上讲是不合理的仍有待辩论。
但为什么不会我们费心给它们起所有方便的名字，比如 pi？出色地…
无理数有多少个？
所有无穷大都是无穷大——但是。不幸的是，对于任何想要列出所有无理数的人来说，有……嗯，有字面上地太多了，数不过来。
“每个人都理解——或者假装理解——有限和无限之间的区别，”康奈尔大学数学教授贾斯汀·摩尔在《Quanta》杂志上说道。为什么的喜悦播客。 “[但是]对于无限集，你可以进一步区分。你可以区分所谓的可数和所谓的不可数。”
对于那些高中毕业后没有学过数学的人来说，这个名字可能会产生误导——毕竟，无限的东西怎么可能是“可数的”呢？但摩尔解释说，这个术语“只是意味着你可以为集合中的每个元素分配一个自然数，这样自然数就不会被使用两次”。 “所以自然数（即整个正数）显然是可数的，因为它们可以计算自己。”
但是有理数和无理数又如何呢？乍一看，很明显有理数比自然数更多——毕竟，你有无数个潜在的分子，并且对于其中每一个，还有无限多个分母！但令人惊讶的是：这两个集合——自然数和有理数——实际上大小相同。
“当你思考这个问题时，实际上很容易看出这一点，”摩尔说，“因为你可以列出分母为 1 的所有分数，或者分子和分母的绝对值最多为 1。然后，最多为 2，在最多 3 个，最多 4 个。并且在每个阶段，只有有限多个分子和分母的大小至少相同的分数n。然后你就可以用这种方式穷尽所有的理由。”
但无理数呢？嗯，这是一个不同的故事：“实数，十进制数的集合，是不可数的，”摩尔解释道。 “如果你给我一个列表，一个所谓的[数轴]上所有元素的列表，有一个称为对角线参数的过程，它允许你产生一个在线上的新点，但不在你的列表上。 ”
这在实践中意味着什么？基本上，当你看着数轴并想知道“其中有多少百分比是无理数？”无论如何，答案是 100%。事实是字面上无限多沿途的点是理性的并不重要——仍然有很多更多的那里有无理数，从宏观上看，有理数可能根本不存在。
我为什么要关心无理数？
如果这一切听起来有点抽象和毫无意义，那么——好吧，。但仅仅因为我们永远无法用数字写出一些无理数的精确值，这并不意味着它们不重要：“例如，圆周率在历史上对于工程师进行某些架构工作非常重要， ”梅纳德指出，“他们需要在一定程度上了解这一点。”
那么，我们该怎么办？ “对于给定的数字位置，你可以用一些有理数来近似它，”他解释道。你会惊讶地发现你需要知道的数字有那么少：例如，NASA 的 pi 永远不会超过小数点后 15 位，即使他们在计算复杂的行星际导航时也是如此。事实上，即使以等于氢原子直径的精度测量整个已知宇宙的大小，您只需要前 38 位数字的常数。
那么，为什么你可能会问，我们实际上对某些人来说知道 pi 的值？老实说，答案是……因为我们可以。
新南威尔士大学副教授戴维·哈维 (David Harvey) 表示：“这是一项计算挑战。”卫报。 “这是一件非常困难的事情，它涉及大量数学和当今的计算机科学。”
“你做圆周率是因为其他人都在做圆周率，”他补充道。但正如我们所看到的，听起来像甜点的常数只是无限非理性海洋中的一波——也许那些计算机科学家是时候将注意力转向一些不那么受欢迎的数字了。
“数学中还有很多其他有趣的常数，”哈维指出。 “如果你热衷于混沌理论，那就有费根鲍姆常数；如果你热衷于解析数论，那就有欧拉伽马常数……[有]e，自然对数底，你可以计算 2 的平方根。为什么……计算 pi？”
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