民主，如果温斯顿·丘吉尔可以相信，是政府最糟糕的形式 - 除了所有已尝试的其他形式。这告诉我们两件事：有时候，您必须采取最不好的选择，而丘吉尔不是数学家。
为什么？好吧，如果政治家更熟悉- 或更确切地说，理论上的经济学 - 然后他可能知道，民主实际上是不可能的。或者至少，这就是经济学家肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow）的著名结果，似乎有足够的说服力，即使在1972年的颁奖典礼上，诺贝尔委员会也授予他获得经济学奖的颁奖典礼，描述定理“相当劝阻”。
但是Arrow的定理真的很悲观吗？ Arrow本人并不这么认为 - 当今的专家也不是。因此，结果是什么实际上说？而且，也许更重要的是……这是什么意思？
什么是Arrow的不可能定理？
想象一下，您的任务是从头开始创建一个国家。你知道你希望这个新国家成为一个- 但具有讽刺意味的是，您和您的创始人与选择哪种确切形式的规则形式相矛盾。
你什么能不过，同意是您系统的一系列更通用的标准。实际上，它们是常识：首先，您希望它具有“不受限制的域” - 一种奇特的说法，您希望它每次都会真正产生结果；其次，这不是独裁政权，因此没有一个投票可以覆盖其他任何一票。第三，您希望任何一个候选人都可以击败任何其他候选人，只要他们获得正确的选票组合 - 不允许候选人。
最重要的是，关于您的人口，您将有一些事情。再说一次，他们没什么好古怪的：首先，他们的偏好将是传递的 - 因此，如果他们更喜欢候选人A而不是候选人B，而候选人B和候选人C，那么他们必须还更喜欢候选人A而不是候选人C；最后，他们将决定“独立于无关的替代方案” - 因此，如果候选人D突然进入竞争，那就不会导致人们决定他们现在更喜欢B而不是A。
基本上，您认为您的民众是理性的，并且您的投票系统是明智的。似乎并没有太多要问的事情 - 但这是事实：根据Arrow的说法，这是完全不可能的。
“ Arrow的定理[…]可以解释为说没有完美的投票规则。”伊迪丝·埃尔金德（Edith Elkind），，，，
“更详细地，Arrow的定理考虑了至少有三名候选人的设置，每个选民都报告了这些候选人的排名（从最佳到最差，不允许联系），目标是总体排名，” Elkind告诉Iflscienciencienciencienciencienciencienciencience。 “定理的声明是，没有投票规则满足所有这些条件。”
让我们考虑一个例子。假设我们有三名候选人和三名选民 - 尽可能简单地设置 - 我们在排名的投票系统中工作。选民一个人更喜欢候选人A而不是候选人B，而候选人B则偏向于候选人C。选民有两个更喜欢候选人B而不是候选人C，而候选人则是候选人A。
您已经可以看到我们处于僵局。没有办法满足小组的要求：总体而言，他们更喜欢A，而B，B到C，和C到A。
通常，您通常无法取悦所有人，有时甚至是您甚至无法取悦大多数人的情况。
本·艾布拉姆斯
当然，如果您居住在美国或英国，您可以回复，这就是为什么我们不使用排名的投票系统的原因。但这是踢脚：箭头定理适用于全部从第一步的系统（通常打破了无关替代标准的独立性到即时投票，到单个可转让的投票系统等），基于排名的系统（通常都打破了无关的替代标准）。
“箭头和类似学者的表现是，排名选择的投票系统无法完美地制造。”本·艾布拉姆斯，伦敦大学学院社会学的讲师，其研究重点是民主，民粹主义和革命。 “在投票群体分裂的群众群体中，总是有机会取得不完美的结果。”
他告诉iflscience，“通常情况下，您通常无法取悦所有人，有时候您甚至无法取悦大多数人。”
那么，民主不可能吗？
传统上，正是在这一点上，读者开始感到有些绝望。民主注定要失败；这是官方的，数学已经证明了这一点。也可以建立独裁统治并克服。但是真的是这样吗？
“一点也不！”艾布拉姆斯告诉iflscience。 “箭头非常支持民主，所有使用他的工作的人也是如此。”
实际上，有几种方法可以解决箭头结果的“问题”。首先，您可以注意到该定理仅适用于基于排名的系统 - 虽然这可能是我们最熟悉的那种系统，但这并不是唯一的投票方法。
艾布拉姆斯指出：“还有其他系统，例如基于评级的系统（实际上是在联合国使用的类型），这些系统不会犯错。
增加我们做出的假设数量也可以提供帮助。例如，“如果所有候选人都可以放在左右轴上，并且所有投票都与此轴一致[…]，那么还有一条规则可以规避箭头的不可能结果，” Elkind告诉Iflscience。
从字面上看，阿罗的规则适用于一个相当具体的情况，这与政治中发生的情况不太匹配[...]我们想要赢家，而不是集体排名。
伊迪丝·埃尔金德（Edith Elkind）
换句话说，如果您可以假设一个选民的最高偏好是伯尼·桑德斯（Bernie Sanders）的选民也会对卡马拉·哈里斯（Kamala Harris）进行排名，那么您可以避免否则会产生的对峙箭头定理。就像原来的一组条件一样，创造了悖论，而不是一个古怪的假设，虽然“只有在没有选民提交的投票与轴心不一致的投票中，它只能正式保证工作，但如果几乎所有选民的排名与Axis都一致，它仍然可以很好地工作。”
整齐地使我们成为限制Arrow定理影响的最重要因素：现实生活。
埃尔金德（Elkind）告诉iflscience：“从字面上看，箭头的规则实际上适用于相当具体的情况，这与政治中发生的情况不太匹配。”她指出，在现实世界中，“我们希望获胜者，而不是集体排名。”
像所有理论上的结果一样，定理设定在一个充满明智的演员的完美世界中 - 选民从未在战术上排名他们的选择，或者基于共鸣或魅力进行投票。艾布拉姆斯说：“箭也非常关心'独裁者'的'独裁者'，他们的投票可以决定全部选举，但实际上，您并不经常得到他们，即使您这样做时，他们也只会在事实之后出现，因此他们不知道自己的影响力（并且在秘密投票的情况下可能永远不会）。”
箭头的观点
所有这些都导致了一个最终的问题：这一切有什么意义？
埃尔金德（Elkind）告诉iflscience：“之所以重要的是，它告诉研究人员和从业人员，寻求完美的意见聚合方法是没有希望的。” “在发现它之前，人们一直在发现现有投票规则的错误，然后试图调整它们以避免这些特定的缺陷；这导致了更复杂的投票规则，后来在某些情况下发现了不良行为，并被更复杂的规则所取代。”
“尽管Arrow的定理并没有完全停止此过程（在21世纪提出了投票规则），但它表明我们不能希望汇聚到一条总是产生不可避免的集体决定的规则。”
换句话说，箭头的不可能定理可以被认为是一种政治不完整定理- 结果说，嘿，有时候，没有完美的解决方案。尽管这听起来令人沮丧，但实际上这是一个非常重要和有影响力的结果：在正式官方范围内的理想之外，学者可以专注于发展全新的社会选择理论。实际上，它是如此深刻的从那以后被描述作为现代社会选择理论的“大爆炸”。
另外，Arrow的定理在政治之外广泛应用。艾布拉姆斯说：“它可以应用于各种群体决定事物的情况，因此，从福利经济学到哲学，您会看到它在许多不同的情况下出现。”
因此，当您和您的朋友出去并试图决定要吃哪家餐厅？那是箭头定理。如果您试图根据实用程序创建法律或道德选择，则可能会再次与Arrow的定理相对。埃尔金德（Elkind）告诉iflscience，无论是在政治上还是在各种比赛（例如，欧洲电视网），根据专家的意见等产生大学排名，这是相关的。”
最终，艾罗的不可能定理真的像诺贝尔委员会所宣布的那样“令人沮丧”吗？并非如此 - 实际上，它远非民主的终结，它启动了一个全新的投票研究领域。
也许更乐观的观点是Arrow本人的观点。在获得经济学奖的同年，他在诺贝尔纪念演讲中承认，对排名投票的条件可能是“相互矛盾的”，“哲学和分布的含义[…]仍然不清楚。”
尽管如此，他说，放弃不是答案。他总结说：“我希望其他人将这个悖论作为挑战，而不是令人沮丧的障碍。”
