雙重突破，數學家幫助解決兩個長期難題

羅格斯大學新不倫瑞克分校的一位教授致力於解開高等數學的奧秘，他解決了兩個困擾數學家數十年的獨立的基本問題。

這些長期存在的問題的解決方案可以進一步增強我們對自然和科學中結構和物體的對稱性的理解，以及對化學、物理、工程、計算機科學和經濟學等領域中出現的各種隨機過程的長期行為的理解。

羅格斯大學文理學院數學系約書亞·巴拉茲 (Joshua Barlaz) 傑出數學教授範鐵普 (Pham Tiep) 完成了對 1977 年去世的著名德裔美國數學家理查德·布勞爾 (Richard Brauer) 提出的 1955 年高度零猜想的證明。

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該猜想的證明（通常被視為有限群表示論數學領域中最突出的挑戰之一）是發表在數學年鑑.

“猜想是你認為具有一定有效性的想法，”Tiep 說，他在職業生涯的大部分時間裡都在思考布勞爾問題，並在過去 10 年裡集中精力研究這個問題。 “但猜想必須得到證實。我本來希望能夠推進這個領域，沒想到能夠解決這個問題。”

從某種意義上說，蒂普和他的同事一直在遵循布勞爾在 1950-60 年代提出並發表的一系列數學猜想中為他們制定的挑戰藍圖。

“一些數學家擁有這種罕見的智力，”蒂普談到布勞爾時說道。 “就好像他們來自另一個星球或另一個世界。他們能夠看到其他人看不到的隱藏現象。”

在第二個進展中，蒂普解決了所謂的德利涅-盧斯蒂格理論中的一個難題，該理論是表示論基礎機制的一部分。這一突破涉及跡線，這是稱為矩陣的矩形陣列的一個重要特徵。矩陣的跡是其對角線元素之和。兩篇論文詳細介紹了這項工作。一個是發表在數學發現， 這第二在數學年鑑.

傑出教授兼數學系系主任斯蒂芬·米勒 (Stephen Miller) 表示：“蒂普在有限群方面的高質量工作和專業知識使羅格斯大學能夠保持其作為該學科世界頂級中心的地位。”

“20 世紀數學的偉大成就之一是對所謂但可能具有誤導性的‘簡單’有限群進行分類，它是羅格斯大學的代名詞——它是從這裡領導的，許多最有趣的例子都是在這裡發現的。通過他令人驚嘆的強大工作，Tiep 為我們繫帶來了國際知名度。”

見解來自蒂普說，這可能會大大增強數學家對痕蹟的理解。他補充說，該解決方案還提供了可能導致數學中其他重要問題取得突破的見解，包括佛羅里達大學數學家約翰·湯普森和以色列數學家亞歷山大·盧博茨基提出的猜想。

這兩項突破都是有限群表示論（代數的一個子集）領域的進步。表示論是許多數學領域（包括數論和代數幾何）以及物理科學（包括粒子物理學）的重要工具。通過表示論也被稱為群，它也被用來​​研究分子的對稱性、加密消息和生成糾錯碼。

遵循表示論的原理，數學家採用歐幾里得幾何中存在的抽象形狀（其中一些極其複雜）並將它們轉換為數字數組。這可以通過識別每個三維或更高維形狀中存在的某些點並將它們轉換為放置在行和列中的數字來實現。

Tiep 說，反向操作也必須起作用。人們需要能夠根據數字序列重建形狀。

與許多經常使用複雜設備來推進工作的物理科學同事不同，Tiep 表示，他只使用筆和紙來進行研究，迄今為止，他已出版了五本書，並在領先的數學期刊上發表了 200 多篇論文。

他記下數學公式或表明邏輯鏈的句子。當同事們一步步進行證明時，他還與同事進行面對面或 Zoom 上的持續對話。

但蒂普說，進步可以來自內心的反思，想法會在他最意想不到的時候迸發出來。

“也許我正在和我們的孩子一起散步，或者和我的妻子一起做園藝，或者只是在廚房做點什麼，”他說。 “我的妻子說她總是知道我什麼時候在思考數學。”

在第一個證明中，Tiep 與德國凱澤斯勞滕工業大學的 Gunter Malle、西班牙瓦倫西亞大學的 Gabriel Navarro 以及 Tiep 的前研究生、現在丹佛大學的 Amanda Schaeffer Fry 合作。

對於第二個突破，Tiep 與南加州大學的 Robert Guralnick 和印第安納大學的 Michael Larsen 合作。 Tiep 與 Guralnick 和 Larsen 合作撰寫了兩篇解決跡上數學問題的論文中的第一篇。 Tiep 和 Larsen 是第二篇論文的共同作者。

米勒說：“蒂普和合著者已經獲得了踪蹟的界限，這與我們期望的一樣好。” “這是一個成熟的學科，從很多角度來看都很重要，所以進展很困難——而且應用程序很多。”