คำจำกัดความความสัมพันธ์เชิงเส้นสูตรและตัวอย่าง

ความสัมพันธ์เชิงเส้นคืออะไร?

ความสัมพันธ์เชิงเส้น (หรือการเชื่อมโยงเชิงเส้น) คือกเกี่ยวกับสถิติคำที่ใช้อธิบายความสัมพันธ์แบบเส้นตรงระหว่างสองตัวแปร ความสัมพันธ์เชิงเส้นสามารถแสดงได้ทั้งในรูปแบบกราฟิกที่ตัวแปรและค่าคงที่เชื่อมต่อผ่านเส้นตรงหรือในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ตัวแปรอิสระถูกคูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ความลาดชันและเพิ่มโดยค่าคงที่ซึ่งกำหนดตัวแปรตาม

ความสัมพันธ์เชิงเส้นอาจตรงกันข้ามกับไฟล์เกี่ยวกับพหุนามหรือความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่เชิงเส้น (โค้ง)

สูตรสำหรับความสัมพันธ์เชิงเส้น

ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์เชิงเส้นเป็นความสัมพันธ์ที่ตรงกับสมการ:

$\ เริ่มต้น {จัดตำแหน่ง} & y = mx + b \\ & \ textbf {โดยที่:} \\ & m = \ text {slope} \\ & b = \ text {y-intercept} \\ \ end {จัดตำแหน่ง}}$​y-ม.x-ขที่ไหน:ม.-ความลาดชันข-การตัดกัน y​

ในสมการนี้“ X” และ“ Y” เป็นตัวแปรสองตัวที่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์“ M” และ“ B” กราฟิกพล็อต y = mx + b ในระนาบ xy เป็นเส้นที่มีความลาดชัน "m" และ y-intercept "b." จุดกึ่งกลาง y“ B” เป็นเพียงค่าของ“ y” เมื่อ x = 0 ความชัน“ M” คำนวณจากสองจุดใด ๆ (x₁, y₁) และ (x₂, y₂) เช่น:

$m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ม.--x2​x1​--y2​y1​-​

ความสัมพันธ์เชิงเส้นบอกอะไรคุณ?

มีเกณฑ์ที่จำเป็นสามชุดสมการจะต้องเป็นไปตามที่จะมีคุณสมบัติเป็นเส้นตรง: สมการที่แสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นไม่สามารถประกอบด้วยตัวแปรมากกว่าสองตัวแปรทั้งหมดในสมการจะต้องเป็นพลังงานแรกและสมการจะต้องกราฟเป็นเส้นตรง

ความสัมพันธ์เชิงเส้นที่ใช้กันทั่วไปคือความสัมพันธ์ซึ่งอธิบายว่าการเปลี่ยนแปลงตัวแปรหนึ่งตัวแปรที่ใกล้เคียงกับการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรอื่น

ในเศรษฐศาสตร์-การถดถอยเชิงเส้นเป็นวิธีการที่ใช้บ่อยครั้งในการสร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ต่าง ๆ มันมักจะใช้ในการคาดการณ์เหตุการณ์จากอดีตเพื่อทำการคาดการณ์สำหรับอนาคต อย่างไรก็ตามความสัมพันธ์บางอย่างนั้นไม่เป็นเชิงเส้น ข้อมูลบางอย่างอธิบายความสัมพันธ์ที่โค้ง (เช่นความสัมพันธ์พหุนาม) ในขณะที่ข้อมูลอื่น ๆ ยังไม่สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้

ฟังก์ชั่นเชิงเส้น

คณิตศาสตร์คล้ายกับความสัมพันธ์เชิงเส้นเป็นแนวคิดของฟังก์ชันเชิงเส้น ในตัวแปรหนึ่งฟังก์ชันเชิงเส้นสามารถเขียนได้ดังนี้:

$\ เริ่ม {จัดตำแหน่ง} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {โดยที่:} \\ & m = \ text {slope} \\ & b = \ text {y-intercept} \\ \ end {จัดตำแหน่ง}}$​f-x--ม.x-ขที่ไหน:ม.-ความลาดชันข-การตัดกัน y​

สิ่งนี้เหมือนกับสูตรที่กำหนดสำหรับความสัมพันธ์เชิงเส้นยกเว้นว่ามีการใช้สัญลักษณ์ F (x) แทนy.การทดแทนนี้ถูกสร้างขึ้นเพื่อเน้นความหมายว่า X ถูกแมปกับ F (x) ในขณะที่การใช้งานyเพียงระบุว่า x และ y เป็นสองปริมาณที่เกี่ยวข้องโดย a และ b

ในการศึกษาพีชคณิตเชิงเส้นคุณสมบัติของฟังก์ชั่นเชิงเส้นจะได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางและทำให้เข้มงวด ได้รับสเกลาร์ C และเวกเตอร์สองตัว A และ B จาก Rⁿคำจำกัดความทั่วไปที่สุดของฟังก์ชั่นเชิงเส้นระบุว่า: $c \ times f (a + b) = c \ times f (a) + c \ times f (b)$Cf-อัน-ข--Cf-อัน--Cf-ข-

ตัวอย่างของความสัมพันธ์เชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 1

ความสัมพันธ์เชิงเส้นเป็นเรื่องธรรมดาในชีวิตประจำวัน ลองใช้แนวคิดเรื่องความเร็วเช่นกัน สูตรที่เราใช้ในการคำนวณความเร็วมีดังนี้: อัตราความเร็วคือระยะทางที่เดินทางเมื่อเวลาผ่านไป หากมีคนในรถมินิแวนเดินทางระหว่างแซคราเมนโตและแมรีสวิลล์ในแคลิฟอร์เนียยืดระยะทาง 44.1 ไมล์บนทางหลวงหมายเลข 99 และการเดินทางที่สมบูรณ์จะจบลงด้วยการใช้เวลาประมาณ 45 นาทีพวกเขาจะเดินทางต่ำกว่า 60 ไมล์ต่อชั่วโมง

ในขณะที่มีตัวแปรมากกว่าสองตัวในสมการนี้ แต่ก็ยังคงเป็นสมการเชิงเส้นเนื่องจากตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นค่าคงที่ (ระยะทาง) เสมอ

ตัวอย่างที่ 2

ความสัมพันธ์เชิงเส้นสามารถพบได้ในระยะของสมการ = อัตรา x เวลา เนื่องจากระยะทางเป็นจำนวนบวก (ในกรณีส่วนใหญ่) ความสัมพันธ์เชิงเส้นนี้จะแสดงที่ด้านบนขวาของกราฟที่มีแกน x และ y

หากจักรยานที่สร้างขึ้นสำหรับสองคนกำลังเดินทางในอัตรา 30 ไมล์ต่อชั่วโมงเป็นเวลา 20 ชั่วโมงผู้ขับขี่จะต้องเดินทาง 600 ไมล์ เป็นตัวแทนกราฟิกด้วยระยะทางบนแกน y และเวลาบนแกน x ซึ่งเป็นเส้นที่ติดตามระยะทางในช่วง 20 ชั่วโมงที่จะเดินทางตรงจากการบรรจบกันของแกน x และ y

ตัวอย่างที่ 3

เพื่อที่จะแปลงเซลเซียสเป็นฟาเรนไฮต์หรือฟาเรนไฮต์เป็นเซลเซียสคุณจะใช้สมการด้านล่าง สมการเหล่านี้แสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นบนกราฟ:

$\ de องศา c = \ frac {5} {9} (\ de องศา f - 32)$C-95​-f32-

$\ de องศา f = \ frac {9} {5} \ de องศา C + 32$f-59​C-32

ตัวอย่างที่ 4

สมมติว่าตัวแปรอิสระคือขนาดของไฟล์บ้าน(วัดจากวิดีโอสแควร์) ซึ่งกำหนดราคาตลาดของบ้าน (ตัวแปรตาม) เมื่อคูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ความลาดชันที่ 207.65 และจากนั้นจะถูกเพิ่มเข้าไปในระยะคงที่ $ 10,500 หากวิดีโอสแควร์ของบ้านคือ 1,250 ค่าตลาดของบ้านคือ (1,250 x 207.65) + $ 10,500 = $ 270,062.50 กราฟิกและคณิตศาสตร์จะปรากฏดังนี้:

ในตัวอย่างนี้เมื่อขนาดของบ้านเพิ่มขึ้นมูลค่าตลาดของบ้านจะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรง

ความสัมพันธ์เชิงเส้นบางอย่างระหว่างสองวัตถุอาจเรียกได้ว่า "ความสัมพันธ์ตามสัดส่วน" ความสัมพันธ์นี้ปรากฏเป็น

$\ เริ่ม {จัดตำแหน่ง} & y = k \ times x \\ & \ textbf {โดยที่:} \\ & k = \ text {constant} \\ & y, x = \ text {ปริมาณตามสัดส่วน} \\ \ end {จัดตำแหน่ง}}$​y-Kxที่ไหน:K-คงที่y-x-ปริมาณสัดส่วน​

เมื่อวิเคราะห์ข้อมูลพฤติกรรมไม่ค่อยมีความสัมพันธ์เชิงเส้นที่สมบูรณ์แบบระหว่างตัวแปร อย่างไรก็ตามเส้นแนวโน้มสามารถพบได้ในข้อมูลที่สร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นเวอร์ชันคร่าวๆ ตัวอย่างเช่นคุณสามารถดูการขายไอศกรีมรายวันและอุณหภูมิสูงทุกวันเป็นตัวแปรสองตัวที่เล่นในกราฟและค้นหาความสัมพันธ์เชิงเส้นดิบระหว่างทั้งสอง

บรรทัดล่าง

ความสัมพันธ์เชิงเส้นในสถิติแสดงความสัมพันธ์แบบเส้นตรงระหว่างตัวแปรสองตัว โดยทั่วไปจะแสดงให้เห็นว่าตัวแปรสองตัวมีความสัมพันธ์กันอย่างไร แม้ว่าจะไม่มีความสัมพันธ์เชิงพฤติกรรมที่สมบูรณ์แบบพอที่จะสร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นที่แท้จริง แต่แนวโน้มมักจะพบในข้อมูลที่จะถือว่ามีอยู่