这是一个直接来自校园的想法：有一天你可能会不小心数得太高而违反了数学定律。然而，一份新的预印本（尚未经过同行评审）似乎做到了这一点——它可能对我们如何理解无穷大产生巨大的影响。
如此令人困惑的结果来自集合论是很恰当的：这是一个以抽象且常常违反直觉而闻名的领域；它有自己深奥的字母和语言；它以看起来太基础甚至不需要证明的结果而闻名（参见：）或者如此明显荒谬，以至于你认为他们一定在途中的某个地方犯了错误（参见：1 + 1 = 1）。
问题是，我们真的离不开它。集合论的核心是寻找一种一劳永逸地驯服数学的方法——弄清楚我们可以证明什么，以及我们只能假设什么。为此，数学家有时需要寻找边缘情况：数学中的事物是如此巨大、奇怪或基本，以至于我们认为理所当然的所有规则都开始崩溃。
不幸的是，有时他们会成功。
无限阶梯
“无限”是一个有时。例如，仅仅说“无穷大是自然数的数量”是不够的——因为如果是这样的话，那么有多少个偶数？有多少分数？如果包括的话是多少还有？
不出所料，上述所有问题的答案也是“无限”——但至少有两种不同尺寸的存在。事实证明，数学家可以证明偶数、整数和分数的集合都具有相同的大小——一个称为 ℵ 的无限数0（发音为“aleph-null”）。另一方面，实数集——即所有有理数和非理性的数字——要大得多。
然而，究竟有多大，这个问题已经挑战了我们所知道和能够证明的极限。我们现在进入了“大基数”的世界：数字“如此之大，以至于无法使用数学标准公理证明它们的存在”，新论文的三位合著者之一、数学家、逻辑学家琼·巴加里亚 (Joan Bagaria) 解释道。 ICREA 和西班牙巴塞罗那大学的集合理论家。
这是一个既是限制又是优势的事实。存在于 ZFC 之外 – 缩写代表“Z埃尔梅洛-Fraenkel 加上公理C巴加里亚告诉 IFLScience，“hoice”是构成世界上几乎所有数学基础的两组最小规则，这意味着大基数的存在“必须被假设为新公理”。换句话说，它无法被证明——只能假设为真，就像我们理所当然地认为的那样x=x。
但这种超出正常规则的位置也使得大基数成为处理更棘手的数学领域的宝贵工具。巴加里亚说，它们“让我们对数学宇宙的结构和本质有了更深入的了解。” “它们使我们能够证明许多新定理，从而解决许多仅使用 ZFC 公理无法判定的数学问题。”
例如：即使在这个无法证明无限的无形世界中，某种秩序可以感觉到——至少在某种程度上。巴加里亚解释说，有一些难以接近的红衣主教——大红衣主教中最小的一个（正如你可以想象的那样，“小”这个词在这里有点承重）。在这些之上，还有可衡量的基数；最终，我们得到了紧凑型、超紧凑型，甚至可能被谦虚地命名为“巨大”的基数。
但更进一步，甚至这些深奥的分类也开始瓦解。 “最终，大基数变得如此强大，以至于与选择公理相矛盾，”巴加里亚说。 “这是一个无法选择的大基数的世界，这很难被接受为真实的，因为大多数数学领域都需要选择公理。”
欢迎来到丛林
新的数字被扔进了这个越来越奇怪的层次结构中。巴加里亚解释说，它们的发现者将它们标记为“严格”和“超严格”红衣主教，“生活在大红衣主教等级制度的最上层”； “它们符合选择公理，而且它们的配方非常自然，因此很容易被接受。”
到目前为止，一切都是合理的——但新的基数仍然给一些数学家的无穷图景带来了麻烦。问题在于一种称为遗传序数可定义性（Hereditary Ordinal Definability）或“HOD”的性质，即一个集合，即使是无限大的集合，也可以通过“计数”来理解。
它是解决无穷大问题的便捷工具，一些数学家曾希望它具有更广泛的适用性。如果全部，或者至少基本上所有的集合——包括这些无限大的集合——都可以这样定义，这意味着大基数的混乱只是一个昙花一现，而不是一个瓦解；即使在等级制度的顶层，选择公理也将再次变得合理。
这就是为什么在过去十年左右的时间里，集合论学家一直在争论所谓的“HOD猜想”。这本质上是这一愿望的形式化：“HOD 猜想告诉我们，数学宇宙是有序的，并且‘接近’可定义数学对象的宇宙，”新论文的合著者、维也纳理工大学的数理逻辑学家胡安·阿奎莱拉 (Juan Aguilera)在奥地利，向 IFLScience 解释道。
至少可以说，以一种或另一种方式解决这个猜想是很棘手的。由于大基数的怪异性，理论上证明正确比证明错误需要更少的努力，但任一方向的明确答案都是难以捉摸的。然而，证据却并非如此：“直到现在，许多人都认为 HOD 猜想可能是正确的，”巴加里亚说，“证据来自于过去几十年对大基数的规范内部模型的研究。 ”
Bagaria 解释说，在“所有这些模型”中，HOD 猜想似乎都成立。那么发生了什么变化呢？
一个严格的问题
在一个已经被反直觉和无形性定义的领域中，新预印本中引入的严格和超严格的基数仍然显得特别奇怪。
阿奎莱拉告诉我们：“通常，大的无穷大概念会‘自行排序’，即使它们是在不同的背景下发现的，但其中一个总是明显比其他更大或更小。” “超精确的红衣主教似乎有所不同。”
他解释说，这不仅仅是因为它们不太适合自己——它们也会让原本表现良好的红衣主教表现得不好。 “它们与之前的无穷概念相互作用非常奇怪，”阿奎莱拉解释道。 “它们放大了其他无穷大：被认为是‘稍大’的基数在存在超精确基数的情况下表现得与更大的无穷大一样。”
这是我们认为布局相当合理的层次结构中意想不到的混乱——它对我们如何设想未来的无限有着深远的影响。 “在我看来，这表明需要做出一些修改，”阿奎莱拉说。 “也许无穷大的结构比我们想象的更复杂，这需要更深入、更仔细的探索。”
尽管如此，这对于 HOD 猜想来说仍然是个坏消息。如果严格和超严格的基数被接受，那么只需一个短暂的跳跃就可以证明 HOD 猜想是错误的——最终获胜的是混乱，而不是秩序。
这不是致命一击——请记住，这些大基数的存在必须通过公理引入，而不是严格证明，因此结果“不会直接反驳 HOD 猜想”，巴加里亚警告说。 “但[他们]提供了非常有力的证据来反对它，这与普遍的直觉相反。”
但问题是：多年来人们一直希望 HOD 猜想最终会占上风，但事实真的如此糟糕吗？巴加里亚和同事的发现可能会暂时让人迷失方向，但它也开辟了一个大红衣主教的丰富新世界，其行为和影响对于新研究来说已经成熟。
“我们三人和其他同事将继续研究精确和超精确的红衣主教，”阿奎莱拉告诉 IFLScience。 “这可能是一种新型无限的第一个实例。”
“这是需要澄清的事情，”他说。 “也许这只是一个开始。”
预印本可于arXiv。
