洛倫茲曲線：定義和使用

什麼是洛倫茲曲線？

由美國經濟學家馬克斯·洛倫茲（Max Lorenz）於1905年開發的洛倫茲（Lorenz）曲線，是收入不平等或財富不平等。該圖根據收入或財富以及垂直軸上的累積收入或財富。

關鍵要點

洛倫茲曲線是人口中收入或財富分配的圖形表示。
洛倫茲曲線繪製人口的百分位數，反對累計收入或以下百分位數的人的財富。
洛倫茲曲線及其導數統計數據廣泛用於衡量人群的不平等。
Lorenz曲線是計算Gini係數的中心部分，這是不平等水平的數學表示。
由於洛倫茲曲線是基於擬合連續曲線以使數據不完整和不連續數據的數學估計值，因此它們可能是對真實不平等的不完美衡量。

了解洛倫茲曲線

在實踐中，洛倫茲曲線通常是從不完整的收入或財富的觀察值組中估算出的數學功能。洛倫茲曲線通常伴有一條直線線，斜率為1，代表完美的平等收入或財富分配；洛倫茲曲線位於其下方，顯示觀察到的分佈或估計分佈。

雖然洛倫茲曲線通常用於代表經濟不平等，它還可以證明任何系統中的分佈不平等。曲線距離基線距離越遠，由直線直線表示，不等式的水平越高。在經濟學中，洛倫茲曲線表示財富分配或收入分配的不平等。這些不是同義詞，因為可以擁有高收入，但零或負面淨值，或較低的收入，但淨值很高。

洛倫茲（Lorenz）曲線通常以基於數據（例如納稅申報表，其中報告了大部分人口的收入。數據圖可直接用作洛倫茲曲線，或經濟學家統計學家可能會符合一個曲線，該曲線代表連續函數，以填補觀察到的數據中的任何空白。

重要的

洛倫茲曲線越接近平等線，不平等的存在就越小。洛倫茲曲線距離距離距離越遠，不平等的存在越多。

洛倫茲曲線的組件

這美國美聯儲聖路易斯銀行從美國家庭收集淨資產統計數據。截至2024年第二季度，基本數據表明，最低的50％的家庭僅佔家庭全家財富的2.5％，而前10％的家庭佔家庭財富的67％。

分析洛倫茲曲線時，有幾個重要組成部分需要理解：

這X軸通常被稱為百分位數。在上圖中，與其他美國家庭相比，X軸是淨值排名的百分比。
這Y軸通常將其表示為發生的累積百分比。在上圖中，百分比代表家庭淨資產的累計數量。
這平等線通過45度向上傾斜的線證明。在上圖中，它表示為虛線。
這洛倫茲曲線經常通過向上傾斜，但通常呈指數級上升的曲線來證明。在上圖中，它表示為實線。
Gini係數（下面討論）是平等線與Lorenz曲線之間的差距。

洛倫茲曲線，美國家庭淨資產（2019年）。

Lorenz曲線和Gini係數

這Gini係數用於表達單個數字中不等式的程度。它通常範圍從0（或0％）到1（或100％）。完全平等，每個人都擁有完全相同的收入或財富，對應於係數為0。繪製為洛倫茲曲線的繪製，完全平等將是一條直線直線，斜率為1（該曲線和本身之間的面積為0，因此Gini係數為0）。

係數為1表示一個人賺取所有收入或持有所有財富。從理論上講，在極端情況下，Gini係數可以超過100％。例如，當處理負財富或收入時，理論上可以高於1；在這種情況下，洛倫茲曲線將傾斜在水平軸以下。

Gini係數等於完美平等線以下的區域減去Lorenz曲線下方的區域，除以完美平等線以下的區域。在上圖中，Gini係數是虛線以下但在實線以上的區域。 Gini係數用於衡量不平等程度。它也可以用來比較兩個不同的國家或國家，以查看哪些具有更多不平等的情況。

提示

對於證明不平等的數據集，可能很難分析數據的某些部分。例如，上圖具有很長的左尾尾。這使得很難在這一部分的數據中檢查平等的變化。

洛倫茲曲線的優點和缺點

洛倫茲曲線的優勢

洛倫茲曲線提供了與諸如Gini係數或Lorenz不對稱係數之類的摘要統計數據相比，有關人口中財富或收入的確切分佈的更多詳細信息。由於洛倫茲曲線在每個百分位數（或其他單位分解）上顯示出分佈，因此可以準確地顯示出所觀察到的分佈的收入（或財富）百分比，因此與平等線的分佈不同。

洛倫茲曲線的基礎數據對於計算Gini係數是必要的，這是數學上的主要手段衡量不平等。假設可以收集足夠的數據，則可以為任何地理區域（即按國家，州，城市等）準備洛倫茲曲線。這對於依靠洛倫茲曲線的政府尤其重要，以更好地了解如何最適當評估稅務括號。

儘管洛倫茲曲線經常顯示敏感的財務信息，但它也保持了基礎調查人員的匿名性。此外，洛倫茲曲線可以隨著時間的推移而自身層面，這表明了公共政策如何改變了沿洛倫茲曲線的各個點的不平等水平。

洛倫茲曲線的缺點

因為構建Lorenz曲線涉及將連續函數擬合到某些不完整的數據集中，因此無法保證沿Lorenz曲線的值（數據中實際觀察到的值除外）實際上與收入的真實分佈相對應。之所以如此，是因為它可能太昂貴或需要太多資源來收集足夠的數據點以填補所有空白。

沿曲線的大多數點只是基於最適合觀察到的數據點的曲線形狀的猜測。因此，洛倫茲曲線的形狀可以對質量和樣本數據的大小以及關於構成最佳曲線的數學假設和判斷的數學假設和判斷，並且這些可能代表洛倫茲曲線和實際分佈之間存在實質性誤差的來源。

Lorenz曲線（或Gini係數）也可能不足以清楚地證明不平等變化隨著時間的變化程度。考慮一個情況，將兩個Gini係數計算為完全相同的情況。洛倫茲曲線的斜率可能會完全不同，但是基本的骨料不等式水平被計算為相同。

優點

視覺上以易於理解和分析的方式描繪了人群的不平等
用於幫助計算Gini係數，這是計算不等式的主要數學平均值
可以協助政府根據收入進行公共政策更改或影響稅務範圍的範圍
維持被調查個人的匿名性
可以編譯以顯示曲線隨著時間的變化

缺點

樣本數據可能無法適當地反映整個總體，因此顯示不正確的洛倫茲曲線
可能需要大量數據收集以充分填充整個曲線
可能需要對曲線進行估計或準備者推斷才能繪製
由於Gini係數區域的不同形狀和大小，可能會誤導分析師。不同區域的大小可能相等，但外觀有所不同

洛倫茲曲線示例

上面的曲線顯示了一條連續的洛倫茲曲線，該曲線已安裝在描述20023年收入分佈的數據中。世界銀行。還將數據集與代表完美平等的直線直線進行比較。

在第50個收入百分點時，洛倫茲曲線的價值為17 %%。這意味著洛倫茲曲線估計，最低的50％的人口占全國每月收入的17％。如果巴西是一個完全平等的社會，那麼最低的50％將獲得總數的50％。

在其他地方，我們可以看到第99個百分位數對應於累積收入的89％。這意味著，根據銀行的數據，最高的1％的收入超過了巴西收入的十分之一。

要找到Gini係數，請從完美平等線以下的洛倫茲曲線下方減去洛倫茲曲線下方的區域（根據定義為0.5）。將結果除以完美平等線以下的區域，該區域的GINI係數為50.8％。這略低於2022年的52％的估計，這表明經濟不平等略有下降。

為什麼洛倫茲曲線很重要？

洛倫茲曲線很重要，因為它代表了說明社會經濟不平等水平的最好和最簡單的方法之一。隨著洛倫茲曲線從基線移開，基礎數據表明不平等的分佈不斷增加。

洛倫茲曲線如何衡量不平等？

洛倫茲曲線是圖形表示社會收入或財富的分配。基本上，曲線從基線移動的距離越遠，由直線線表示，不等式的水平越高。

誰使用洛倫茲曲線？

政府機構對洛倫茲曲線特別感興趣，尤其是對於其國家內的淨資產和收入分配。洛倫茲（Lorenz）曲線將公共政策的運作方式（或不工作）告知政府。這也可能是政府應如何根據收入差距或收入範圍建立其稅率的指標。

Lorenz曲線如何計算？

從樣本量相對較大的數據中收集數據後，然後擬合Lorenz曲線以最佳地證明該數據集的分佈。由於每組信息都不同，因此沒有單個通用曲線公式，對於不同的數據集，非線性回歸通常會非常不同。

底線

視覺分析不平等分佈的一種常見方法是使用洛倫茲曲線。曲線以圖形方式描述了平等的標準分佈。然後，在給定數據集的實際分佈上的圖層。 Lorenz曲線用於計算Gini係數，以數學分析數據集的不平等程度，並且也用於視覺檢查不平等水平。