ผลรวมที่เหลือของกำลังสอง (RSS): มันคืออะไรและวิธีการคำนวณ

ผลรวมที่เหลือของกำลังสอง (RSS) เป็นเทคนิคทางสถิติที่ใช้ในการวัดปริมาณของความแปรปรวนในชุดข้อมูลที่ไม่ได้อธิบายโดยโมเดลการถดถอยเอง แต่จะประเมินความแปรปรวนในส่วนที่เหลือหรือข้อกำหนดข้อผิดพลาด-

การถดถอยเชิงเส้นเป็นการวัดที่ช่วยกำหนดความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตามและปัจจัยอื่น ๆ หรือมากกว่าหนึ่งปัจจัยที่เรียกว่าตัวแปรอิสระหรืออธิบาย

ทำความเข้าใจผลรวมที่เหลือของสี่เหลี่ยม (RSS)

ในแง่ทั่วไปผลรวมของสี่เหลี่ยมเป็นเทคนิคทางสถิติที่ใช้ในการวิเคราะห์การถดถอยเพื่อตรวจสอบการกระจายตัวของจุดข้อมูล ในการวิเคราะห์การถดถอยเป้าหมายคือการกำหนดว่าชุดข้อมูลสามารถติดตั้งกับฟังก์ชั่นที่อาจช่วยอธิบายได้อย่างไรว่าชุดข้อมูลถูกสร้างขึ้นอย่างไร ผลรวมของกำลังสองใช้เป็นวิธีทางคณิตศาสตร์ในการค้นหาฟังก์ชันที่เหมาะที่สุด(แตกต่างกันน้อยที่สุด) จากข้อมูล

RSS วัดปริมาณของข้อผิดพลาดที่เหลืออยู่ระหว่างฟังก์ชั่นการถดถอยและชุดข้อมูลหลังจากเรียกใช้โมเดลแล้ว รูป RSS ขนาดเล็กแสดงถึงฟังก์ชั่นการถดถอยที่เหมาะสมกับข้อมูล

RSS หรือที่เรียกว่าผลรวมของส่วนที่เหลือกำลังสองเป็นหลักกำหนดว่าโมเดลการถดถอยจะอธิบายหรือแสดงข้อมูลในโมเดลได้ดีเพียงใด

วิธีคำนวณผลรวมที่เหลือของสี่เหลี่ยม

RSS =ⁿ_{i = 1} -y^ฉัน-f-x_ฉัน-²

ที่ไหน:

y_ฉัน= i^ไทยค่าของตัวแปรที่จะทำนาย

f(x_ฉัน) = ค่าที่คาดการณ์ของ y_ฉัน

n = ขีด จำกัด สูงสุดของการรวม

ผลรวมที่เหลือของสี่เหลี่ยม (RSS) เทียบกับข้อผิดพลาดมาตรฐานที่เหลือ (RSE)

ข้อผิดพลาดมาตรฐานที่เหลือ (RSE) เป็นคำศัพท์ทางสถิติอื่นที่ใช้เพื่ออธิบายความแตกต่างในส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าที่สังเกตได้เมื่อเทียบกับค่าที่คาดการณ์ไว้ตามที่แสดงโดยจุดในการวิเคราะห์การถดถอย มันคือความดีของพอดีการวัดที่สามารถใช้ในการวิเคราะห์ว่าชุดของจุดข้อมูลสอดคล้องกับโมเดลจริงอย่างไร

RSE คำนวณโดยการหาร RSS ด้วยจำนวนการสังเกตในตัวอย่างน้อยกว่า 2 จากนั้นใช้สแควร์รูท: RSE = [RSS/(N-2)]]^1/2

ลด RSS ให้น้อยที่สุด

ในขอบเขตของการวิเคราะห์การถดถอยการลดผลรวมที่เหลือของสี่เหลี่ยมเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการบรรลุความพอดีที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ของแบบจำลองข้อมูล ท่ามกลางเทคนิคที่แตกต่างกันในการทำให้สิ่งนี้เกิดขึ้นหนึ่งในวิธีการพื้นฐานและที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดคือวิธีการการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด-

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดเป็นวิธีที่มีจุดมุ่งหมายเพื่อค้นหาเส้นหรือเส้นโค้งที่ลดผลรวมของความแตกต่างกำลังสอง ความแตกต่างเหล่านี้จะอยู่ระหว่างค่าที่สังเกตและค่าที่คาดการณ์โดยแบบจำลอง ในสาระสำคัญการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดพยายามที่จะสร้างความสมดุลที่แบบจำลองจับแนวโน้มพื้นฐานของข้อมูลในขณะที่ยังคงลดความคลาดเคลื่อนระหว่างสิ่งที่ถูกสังเกตและสิ่งที่คาดการณ์ไว้

กระบวนการของการลด RSS ให้น้อยที่สุดผ่านการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดเกี่ยวข้องกับการปรับพารามิเตอร์ของโมเดลซ้ำ ๆ ซ้ำ ๆ โดยปกติแล้วจะทำจนกว่าจะมีความพอดีที่ดีที่สุด สำหรับแบบจำลองการถดถอยเชิงเส้นแบบง่าย ๆ สิ่งนี้มักจะเกี่ยวข้องกับการค้นหาความชันและการสกัดกั้นของเส้นที่เหมาะกับข้อมูลที่ดีที่สุด ในสถานการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นกระบวนการจะซับซ้อนมากขึ้น แต่มีหลักการเดียวกันมากมาย

ข้อ จำกัด ของ RSS

RSS มีข้อ จำกัด บางประการ ก่อนอื่น RSS ให้น้ำหนักที่เท่ากันกับส่วนที่เหลือทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าค่าผิดปกติสามารถมีอิทธิพลต่อ RSS อย่างไม่เป็นสัดส่วนซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์โดยประมาณอาจเบ้ในเชิงลบ ข้อเสียอีกประการหนึ่งคือ RSS ขึ้นอยู่กับสมมติฐานหลายประการ หากมีข้อสันนิษฐานเช่นความเป็นเส้นตรงความเป็นอิสระของข้อผิดพลาดหรือการละเมิด homoscedasticity RSS อาจนำไปสู่การประมาณการแบบเอนเอียงและการอนุมานที่ไม่ถูกต้อง

ในขณะที่ RSS มีประโยชน์สำหรับการประเมินความพอดีของรุ่นเดียว แต่การเปรียบเทียบความพอดีกับหลายรุ่นโดยใช้ RSS เพียงอย่างเดียวอาจเป็นเรื่องยาก นี่เป็นเพราะ RSS ขึ้นอยู่กับจำนวนพารามิเตอร์ในโมเดล มันไม่ได้หมายถึงการเปรียบเทียบโมเดลกับพารามิเตอร์จำนวนมาก

สุดท้ายในขณะที่ RSS นั้นง่ายต่อการคำนวณและตีความ แต่ก็ให้ข้อมูลเชิงลึกที่ จำกัด เกี่ยวกับโครงสร้างพื้นฐานของข้อมูล ในกรณีที่การทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างตัวทำนายและตัวแปรตอบสนองเป็นสิ่งสำคัญอาจมีตัวชี้วัดที่ดีกว่าที่จะใช้ ในบางวิธี RSS สามารถทำตัวเหมือนกกล่องดำที่ซึ่งความสัมพันธ์ไม่เป็นที่รู้จักทั้งหมด เฉพาะค่าสุดท้ายเท่านั้นที่มีความสำคัญมากที่สุด

ข้อพิจารณาพิเศษ

ตลาดการเงินได้รับแรงผลักดันเชิงปริมาณมากขึ้นเรื่อย ๆ ดังนั้นในการค้นหาขอบนักลงทุนจำนวนมากกำลังใช้เทคนิคทางสถิติขั้นสูงเพื่อช่วยในการตัดสินใจของพวกเขา ข้อมูลขนาดใหญ่การเรียนรู้ของเครื่องจักรและแอพพลิเคชั่นปัญญาประดิษฐ์จำเป็นต้องใช้คุณสมบัติทางสถิติเพื่อเป็นแนวทางในกลยุทธ์การลงทุนร่วมสมัย ผลรวมที่เหลือของสี่เหลี่ยม - หรือสถิติ RSS - เป็นหนึ่งในคุณสมบัติทางสถิติมากมายที่เพลิดเพลินกับยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา

แบบจำลองทางสถิติถูกใช้โดยนักลงทุนและผู้จัดการพอร์ตเพื่อติดตามราคาการลงทุนและใช้ข้อมูลนั้นเพื่อทำนายการเคลื่อนไหวในอนาคต การศึกษา - การวิเคราะห์การถดถอยที่เรียกว่าอาจเกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ในการเคลื่อนไหวของราคาระหว่างสินค้าและหุ้นของ บริษัท ที่มีส่วนร่วมในการผลิตสินค้า

แบบจำลองใด ๆ อาจมีความแปรปรวนระหว่างค่าที่คาดการณ์และผลลัพธ์จริง แม้ว่าความแปรปรวนอาจอธิบายได้จากการวิเคราะห์การถดถอย แต่ RSS แสดงถึงความแปรปรวนหรือข้อผิดพลาดที่ไม่ได้อธิบาย

เนื่องจากฟังก์ชั่นการถดถอยที่ซับซ้อนเพียงพอสามารถทำเพื่อให้พอดีกับชุดข้อมูลใด ๆ อย่างใกล้ชิดการศึกษาเพิ่มเติมจึงจำเป็นเพื่อตรวจสอบว่าฟังก์ชั่นการถดถอยนั้นมีประโยชน์ในการอธิบายความแปรปรวนของชุดข้อมูลหรือไม่

อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปแล้วค่าที่เล็กกว่าหรือต่ำกว่าสำหรับ RSS นั้นเหมาะอย่างยิ่งในทุกรุ่นเนื่องจากหมายความว่ามีการเปลี่ยนแปลงน้อยลงในชุดข้อมูล กล่าวอีกนัยหนึ่งยิ่งผลรวมของส่วนที่เหลือกำลังสองเท่าของโมเดลการถดถอยที่ดีขึ้นก็คือการอธิบายข้อมูล

ตัวอย่างของ RSS

สำหรับการสาธิตการคำนวณ RSS ที่เรียบง่าย (แต่ยาว) ให้พิจารณาความสัมพันธ์ที่รู้จักกันดีระหว่างการใช้จ่ายของผู้บริโภคของประเทศและGDP- แผนภูมิต่อไปนี้สะท้อนถึงค่าที่เผยแพร่ของการใช้จ่ายของผู้บริโภคและผลิตภัณฑ์มวลรวมภายในประเทศสำหรับ 27 รัฐของสหภาพยุโรป โปรดทราบว่าข้อมูลนี้อาจมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยเนื่องจากมีการเผยแพร่ แต่ตัวอย่างของผลรวมที่เหลือของกำลังสองยังคงถูกต้อง

การใช้จ่ายของผู้บริโภคเทียบกับ GDP สำหรับประเทศสมาชิกสหภาพยุโรป
ประเทศ	การใช้จ่ายของผู้บริโภค (ล้าน)	GDP (ล้าน)
ประเทศออสเตรีย	309,018.88	433,258.47
เบลเยียม	388,436.00	521,861.29
บัลแกเรีย	54,647.31	69,889.35
โครเอเชีย	47,392.86	57,203.78
ไซปรัส	20,592.74	24,612.65
สาธารณรัฐเช็ก	164,933.47	245,349.49
เดนมาร์ก	251,478.47	356,084.87
ประเทศเอสโตเนีย	21,776.00	30,650.29
ฟินแลนด์	203,731.24	269,751.31
ฝรั่งเศส	2,057,126.03	2,630,317.73
ประเทศเยอรมนี	2,812,718.45	3,846,413.93
กรีซ	174,893.21	188,835.20
ฮังการี	110,323.35	155,808.44
ไอร์แลนด์	160,561.07	425,888.95
อิตาลี	1,486,910.44	1,888,709.44
ลัตเวีย	25,776.74	33,707.32
ลิทัวเนีย	43,679.20	56,546.96
ลักเซมเบิร์ก	35,953.29	73,353.13
มอลตา	9,808.76	14,647.38
เนเธอร์แลนด์	620,050.30	913,865.40
โปแลนด์	453,186.14	596,624.36
โปรตุเกส	190,509.98	228,539.25
ประเทศโรมาเนีย	198,867.77	248,715.55
สาธารณรัฐสโลวาเกีย	83,845.27	105,172.56
สโลวีเนีย	37,929.24	53,589.61
สเปน	997,452.45	1,281,484.64
สวีเดน	382,240.92	541,220.06

การใช้จ่ายของผู้บริโภคและ GDP มีความสัมพันธ์เชิงบวกอย่างมากและเป็นไปได้ที่จะทำนาย GDP ของประเทศตามการใช้จ่ายของผู้บริโภค (CS) ใช้สูตรสำหรับไฟล์เส้นพอดีที่ดีที่สุดความสัมพันธ์นี้สามารถประมาณได้เป็น:

GDP = 1.3232 x CS + 10447

หน่วยสำหรับทั้ง GDP และการใช้จ่ายของผู้บริโภคอยู่ในหลายล้านดอลลาร์สหรัฐ

สูตรนี้มีความแม่นยำสูงสำหรับจุดประสงค์ส่วนใหญ่ แต่มันไม่สมบูรณ์แบบเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของแต่ละบุคคลในเศรษฐกิจของแต่ละประเทศ แผนภูมิต่อไปนี้เปรียบเทียบ GDP ที่คาดการณ์ไว้ของแต่ละประเทศตามสูตรข้างต้นและ GDP จริงตามที่บันทึกโดยธนาคารโลก

ตัวเลข GDP ที่คาดการณ์และจริงสำหรับประเทศสมาชิกสหภาพยุโรปและสี่เหลี่ยมที่เหลืออยู่
ประเทศ	ผู้บริโภคใช้จ่ายมูลค่าล่าสุด (ล้าน)	GDP ค่าล่าสุด (ล้าน)	GDP ที่คาดการณ์ไว้ (ขึ้นอยู่กับ Trendline)	จตุรัสตกค้าง (ฉาย - จริง)^2
ประเทศออสเตรีย	309,018.88	433,258.47	419,340.782016	193,702,038.819978
เบลเยียม	388,436.00	521,861.29	524,425.52	6,575,250.87631504
บัลแกเรีย	54,647.31	69,889.35	82,756.320592	165,558,932.215393
โครเอเชีย	47,392.86	57,203.78	73,157.232352	254,512,641.947534
ไซปรัส	20,592.74	24,612.65	37,695.313568	171,156,086.033474
สาธารณรัฐเช็ก	164,933.47	245,349.49	228,686.967504	277,639,655.929706
เดนมาร์ก	251,478.47	356,084.87	343,203.311504	165,934,549.28587
ประเทศเอสโตเนีย	21,776.00	30,650.29	39,261.00	74,144,381.8126542
ฟินแลนด์	203,731.24	269,751.31	280,024.176768	105,531,791.633079
ฝรั่งเศส	2,057,126.03	2,630,317.73	2,732,436.162896	10,428,174,337.1349
ประเทศเยอรมนี	2,812,718.45	3,846,413.93	3,732,236.05304	13,036,587,587.0929
กรีซ	174,893.21	188,835.20	241,865.695472	2,812,233,450.00581
ฮังการี	110,323.35	155,808.44	156,426.85672	382,439.239575558
ไอร์แลนด์	160,561.07	425,888.95	222,901.407824	41,203,942,278.6534
อิตาลี	1,486,910.44	1,888,709.44	1,977,926.894208	7,959,754,135.35658
ลัตเวีย	25,776.74	33,707.32	44,554.782368	117,667,439.825176
ลิทัวเนีย	43,679.20	56,546.96	68,243.32	136,804,777.364243
ลักเซมเบิร์ก	35,953.29	73,353.13	58,020.393328	235,092,813.852894
มอลตา	9,808.76	14,647.38	23,425.951232	77,063,312.875298
เนเธอร์แลนด์	620,050.30	913,865.40	830,897.56	6,883,662,978.71
โปแลนด์	453,186.14	596,624.36	610,102.900448	181,671,052.608372
โปรตุเกส	190,509.98	228,539.25	262,529.805536	1,155,357,865.6459
ประเทศโรมาเนีย	198,867.77	248,715.55	273,588.833264	618,680,220.331183
สาธารณรัฐสโลวาเกีย	83,845.27	105,172.56	121,391.061264	263,039,783.25037
สโลวีเนีย	37,929.24	53,589.61	60,634.970368	49,637,102.7149851
สเปน	997,452.45	1,281,484.64	1,330,276.08184	2,380,604,796.8261
สวีเดน	382,240.92	541,220.06	516,228.185344	624,593,798.821215

คอลัมน์ทางด้านขวาบ่งบอกถึงสี่เหลี่ยมที่เหลือ - ความแตกต่างกำลังสองระหว่างแต่ละค่าที่คาดการณ์และมูลค่าจริง ตัวเลขมีขนาดใหญ่ แต่ผลรวมของพวกเขาต่ำกว่า RSS สำหรับแนวเทรนด์อื่น ๆ ที่เป็นไปได้ หากบรรทัดที่แตกต่างกันมี RSS ที่ต่ำกว่าสำหรับจุดข้อมูลเหล่านี้บรรทัดนั้นจะเป็นเส้นพอดีที่ดีที่สุด

บรรทัดล่าง

ผลรวมที่เหลือของกำลังสองปริมาณความคลาดเคลื่อนระหว่างจุดข้อมูลที่สังเกตได้และการทำนายที่ทำโดยแบบจำลองการถดถอยซึ่งคำนวณเป็นผลรวมของส่วนที่เหลือกำลังสอง การลด RSS เป็นวัตถุประสงค์พื้นฐานในการวิเคราะห์การถดถอยเนื่องจากแสดงถึงระดับที่โมเดลจับความแปรปรวนในข้อมูลได้อย่างแม่นยำ