ผลรวมของกำลังสอง: การคำนวณประเภทและตัวอย่าง

ผลรวมของสี่เหลี่ยมคืออะไร?

คำว่า "ผลรวมของกำลังสอง" เป็นมาตรการทางสถิติที่ใช้ในการวิเคราะห์การถดถอยเพื่อตรวจสอบการกระจายของจุดข้อมูล ผลรวมของสี่เหลี่ยมสามารถใช้เพื่อค้นหาฟังก์ชั่นที่เหมาะที่สุดโดยการเปลี่ยนแปลงน้อยที่สุดจากข้อมูล

ในการวิเคราะห์การถดถอยเป้าหมายคือการกำหนดว่าชุดข้อมูลสามารถติดตั้งกับฟังก์ชั่นที่อาจช่วยอธิบายได้อย่างไรว่าชุดข้อมูลถูกสร้างขึ้นอย่างไร ผลรวมของสี่เหลี่ยมสามารถใช้ในโลกการเงินเพื่อกำหนดความแปรปรวนในมูลค่าสินทรัพย์

ทำความเข้าใจผลรวมของสี่เหลี่ยม

ผลรวมของกำลังสองวัดว่าชุดข้อมูลของจุดข้อมูลนั้นกระจายออกจากไฟล์หมายถึง- มันเป็นที่รู้จักกันในชื่อการเปลี่ยนแปลง มันถูกคำนวณโดยการเพิ่มความแตกต่างกำลังสองของแต่ละจุดข้อมูล ในการกำหนดผลรวมของสี่เหลี่ยมให้สี่เหลี่ยมห่างระหว่างแต่ละจุดข้อมูลและสายของพอดีที่ดีที่สุดจากนั้นเพิ่มเข้าด้วยกัน สายของพอดีที่ดีที่สุดจะลดค่านี้ให้น้อยที่สุด

ผลรวมของสี่เหลี่ยมต่ำบ่งบอกถึงการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยระหว่างชุดข้อมูลในขณะที่อันที่สูงกว่าหมายถึงการเปลี่ยนแปลงมากขึ้น การเปลี่ยนแปลงหมายถึงความแตกต่างของแต่ละชุดข้อมูลจากค่าเฉลี่ย คุณสามารถเห็นภาพสิ่งนี้ในไฟล์แผนภูมิ- หากบรรทัดไม่ผ่านจุดข้อมูลทั้งหมดแสดงว่ามีความแปรปรวนที่ไม่สามารถอธิบายได้ เราไปสู่รายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับเรื่องนี้ในส่วนถัดไปด้านล่าง

ในสถิติผลรวมของสี่เหลี่ยมจะใช้ในการคำนวณความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูลซึ่งจะใช้ในการวิเคราะห์การถดถอยนักวิเคราะห์และนักลงทุนสามารถใช้เทคนิคเหล่านี้เพื่อทำการตัดสินใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับการลงทุนของพวกเขา อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าการใช้มันหมายความว่าคุณกำลังตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการใช้งานประสิทธิภาพที่ผ่านมา- ตัวอย่างเช่นมาตรการนี้สามารถช่วยคุณกำหนดระดับของความผันผวนในราคาของหุ้นหรือราคาหุ้นของทั้งสอง บริษัท เปรียบเทียบ

สมมติว่านักวิเคราะห์ต้องการทราบว่า Microsoft (MSFT) ราคาหุ้นมีแนวโน้มที่จะย้ายควบคู่กับของ Apple (AAPL- นักวิเคราะห์สามารถแสดงรายการราคารายวันสำหรับหุ้นทั้งสองในช่วงเวลาหนึ่ง (พูดหนึ่ง, สองหรือ 10 ปี) และสร้างโมเดลเชิงเส้นหรือแผนภูมิ หากความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรทั้งสอง (เช่นราคาของ AAPL และ MSFT) ไม่ได้เป็นเส้นตรงแสดงว่ามีการเปลี่ยนแปลงในชุดข้อมูลที่ต้องตรวจสอบ

ผลรวมของสูตรสี่เหลี่ยม

ต่อไปนี้เป็นสูตรสำหรับผลรวมทั้งหมดของสี่เหลี่ยม

$\ เริ่มต้น {จัดตำแหน่ง} & \ text {สำหรับชุด} x \ text {ของ} n \ text {items:} \\ & \ text {ผลรวมของสี่เหลี่ยม} = \ sum_ {i = 0}^{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {n} & x_i = \ text {the} i^{th} \ text {รายการในชุด} \\ & \ overline {x} = \ text {ค่าเฉลี่ยของรายการทั้งหมดในชุด} \\ & \ left (x_i- \ overline$​สำหรับชุดxของnรายการ:ผลรวมของสี่เหลี่ยม-ฉัน-0n​-xฉัน​x-2ที่ไหน:xฉัน​-ที่ฉันTชม.รายการในชุดx-ค่าเฉลี่ยของรายการทั้งหมดในชุด-xฉัน​x--ความเบี่ยงเบนของแต่ละรายการจากค่าเฉลี่ย​

วิธีคำนวณผลรวมของสี่เหลี่ยม

คุณสามารถดูได้ว่าทำไมการวัดจึงเรียกว่าผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองหรือผลรวมของสี่เหลี่ยมในระยะสั้น คุณสามารถใช้ขั้นตอนต่อไปนี้เพื่อคำนวณผลรวมของกำลังสอง:

1. รวบรวมจุดข้อมูลทั้งหมด
2. กำหนดค่าเฉลี่ย/ค่าเฉลี่ย
3. ลบค่าเฉลี่ย/ค่าเฉลี่ยจากแต่ละจุดข้อมูล
4. สี่เหลี่ยมแต่ละทั้งหมดจากขั้นตอนที่ 3
5. เพิ่มตัวเลขจากขั้นตอนที่ 4

ในสถิติค่าเฉลี่ยคือค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลขซึ่งคำนวณโดยการเพิ่มค่าในชุดข้อมูลเข้าด้วยกันและหารด้วยจำนวนค่า อย่างไรก็ตามการรู้ค่าเฉลี่ยอาจไม่เพียงพอที่จะเข้าใจข้อมูลของคุณและสรุปข้อสรุป ดังนั้นจึงช่วยให้ทราบการเปลี่ยนแปลงในชุดการวัด ค่าเฉลี่ยของแต่ละบุคคลนั้นมาจากค่าเฉลี่ยอาจให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับความแปรปรวนที่มีอยู่มากแค่ไหนและค่าที่เหมาะสมกับเส้นการถดถอย

ประเภทของผลรวมของสี่เหลี่ยม

สูตรที่เราเน้นก่อนหน้านี้ใช้เพื่อคำนวณผลรวมทั้งหมดของสี่เหลี่ยม ผลรวมทั้งหมดของสี่เหลี่ยมถูกใช้เพื่อมาถึงประเภทอื่น ต่อไปนี้เป็นผลรวมประเภทอื่น ๆ ของสี่เหลี่ยม

ผลรวมที่เหลือของสี่เหลี่ยม

ดังที่ระบุไว้ข้างต้นหากบรรทัดในแบบจำลองเชิงเส้นที่สร้างขึ้นไม่ผ่านการวัดมูลค่าทั้งหมดดังนั้นความแปรปรวนบางอย่างที่สังเกตได้ในราคาหุ้นไม่ได้อธิบาย ผลรวมของกำลังสองใช้ในการคำนวณว่ากความสัมพันธ์เชิงเส้นมีอยู่ระหว่างตัวแปรสองตัวและความแปรปรวนที่ไม่ได้อธิบายใด ๆ เรียกว่าผลรวมที่เหลือของสี่เหลี่ยม (RSS)-

RSS ช่วยให้คุณกำหนดจำนวนข้อผิดพลาดที่เหลือระหว่างฟังก์ชั่นการถดถอยและชุดข้อมูลหลังจากที่โมเดลได้รับการเรียกใช้ คุณสามารถตีความตัวเลข RSS ที่เล็กกว่าเป็นฟังก์ชั่นการถดถอยที่เหมาะกับข้อมูลในขณะที่ตรงกันข้ามกับรูป RSS ที่ใหญ่กว่า

นี่คือสูตรสำหรับการคำนวณผลรวมที่เหลือของกำลังสอง:

$\ เริ่มต้น {จัดตำแหน่ง} & \ text {sse} = \ sum_ {i = 1}^{n} (y_i - \ hat {y} _i)^2 \\ & \ textbf {โดยที่:} \\ & y_i = \ text บรรทัด} \\\ end {จัดตำแหน่ง}$​SSE-ฉัน-1n​-yฉัน​y-​ฉัน​-2ที่ไหน:yฉัน​-ค่าที่สังเกตได้y-​ฉัน​-ค่าประมาณโดยสายการถดถอย​

ผลรวมการถดถอยของสี่เหลี่ยม

ผลรวมการถดถอยของสี่เหลี่ยมถูกใช้เพื่อแสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลแบบจำลองและแบบจำลองการถดถอย แบบจำลองการถดถอยกำหนดว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรหนึ่งหรือหลายตัว การมีผลรวมการถดถอยต่ำของกำลังสองบ่งชี้ว่าเหมาะสมกับข้อมูลที่ดีขึ้น แม้ว่าผลรวมการถดถอยที่สูงขึ้นของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหมายถึงโมเดลและข้อมูลไม่เหมาะสมกัน

นี่คือสูตรสำหรับการคำนวณผลรวมการถดถอยของกำลังสอง:
$\ เริ่มต้น {จัดตำแหน่ง} & \ text {ssr} = \ sum_ {i = 1}^{n} (\ hat {y} _i - \ bar {y})^2 \\ & \ textbf {where:}} \\ & \ bar {y} = \ text {ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง} \\\ end {จัดตำแหน่ง}$​SSR-ฉัน-1n​-y-​ฉัน​yˉ​-2ที่ไหน:y-​ฉัน​-ค่าประมาณโดยสายการถดถอยyˉ​-ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง​

ข้อ จำกัด ของการใช้ผลรวมของสี่เหลี่ยม

การสร้างการลงทุนการตัดสินใจเกี่ยวกับหุ้นที่จะซื้อต้องมีการสังเกตมากกว่าที่ระบุไว้ที่นี่ นักวิเคราะห์อาจต้องทำงานกับข้อมูลหลายปีเพื่อทราบด้วยความมั่นใจสูงกว่าความแปรปรวนของความแปรปรวนของ ANสินทรัพย์เป็น. เมื่อเพิ่มจุดข้อมูลเพิ่มเติมลงในชุดผลรวมของสี่เหลี่ยมจะใหญ่ขึ้นเนื่องจากค่าจะกระจายออกไปมากขึ้น

การวัดการเปลี่ยนแปลงที่ใช้กันอย่างแพร่หลายมากที่สุดคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน อย่างไรก็ตามเพื่อคำนวณทั้งสองอย่างตัวชี้วัดต้องคำนวณผลรวมของสี่เหลี่ยมก่อน ความแปรปรวนคือค่าเฉลี่ยของผลรวมของสี่เหลี่ยม (เช่นผลรวมของสี่เหลี่ยมหารด้วยจำนวนการสังเกต) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือสแควร์รูทของความแปรปรวน

การวิเคราะห์การถดถอยมีสองวิธีที่ใช้ผลรวมของกำลังสอง:

• เส้นตรงวิธีกำลังสองน้อยที่สุด
• วิธีการไม่เชิงเส้นน้อยที่สุดกำลังสอง

วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดหมายถึงความจริงที่ว่าฟังก์ชั่นการถดถอยลดผลรวมของกำลังสองของความแปรปรวนจากจุดข้อมูลจริง ด้วยวิธีนี้มันเป็นไปได้ที่จะวาดฟังก์ชั่นซึ่งให้ความเหมาะสมที่สุดสำหรับข้อมูล โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นการถดถอยอาจเป็นเส้นตรง (เส้นตรง) หรือไม่เชิงเส้น (เส้นโค้ง)

ตัวอย่างผลรวมของสี่เหลี่ยม

ลองใช้ Microsoft เป็นตัวอย่างเพื่อแสดงว่าคุณสามารถมาถึงผลรวมของสี่เหลี่ยมได้อย่างไร

การใช้ขั้นตอนที่ระบุไว้ข้างต้นเรารวบรวมข้อมูล ดังนั้นหากเรากำลังดูผลการดำเนินงานของ บริษัท ในระยะเวลาห้าปีเราจะต้องปิดราคาในช่วงเวลานั้น:

• $ 374.01
• $ 374.77
• $ 373.94
• $ 373.61
• $ 373.40

ตอนนี้เรามาหาราคาเฉลี่ย ผลรวมของราคารวมคือ $ 1,869.73 และราคาเฉลี่ยหรือราคาเฉลี่ยคือ $ 1,869.73 ÷ 5 = $ 373.95

จากนั้นเพื่อหาผลรวมของสี่เหลี่ยมเราพบความแตกต่างของแต่ละราคาจากค่าเฉลี่ยสี่เหลี่ยมความแตกต่างและเพิ่มเข้าด้วยกัน:

• SS = ($ 374.01 - $ 373.95)²+ ($ 374.77 - $ 373.95)²+ ($ 373.94 - $ 373.95)²+ ($ 373.61 - $ 373.95)²+ ($ 373.40 - $ 373.95)²
• SS = (0.06)²+ (0.82)²+ (-0.01)²+ (-0.34)²+ (-0.55)²
• SS = 1.0942

ในตัวอย่างข้างต้น 1.0942 แสดงให้เห็นว่าความแปรปรวนของราคาหุ้นของ MSFT ในช่วงห้าวันนั้นต่ำมากและนักลงทุนที่ต้องการลงทุนในหุ้นที่โดดเด่นด้วยความเสถียรของราคาและความผันผวนต่ำอาจเลือกใช้ Microsoft

บรรทัดล่าง

ในฐานะนักลงทุนคุณต้องการตัดสินใจอย่างชาญฉลาดเกี่ยวกับสถานที่ที่จะนำเงินของคุณ ในขณะที่คุณสามารถทำได้อย่างแน่นอนโดยใช้สัญชาตญาณของคุณมีเครื่องมือที่คุณสามารถช่วยคุณได้ ผลรวมของกำลังสองใช้ข้อมูลในอดีตเพื่อให้คุณมีข้อบ่งชี้ถึงความผันผวนโดยนัย ใช้เพื่อดูว่าหุ้นนั้นเหมาะสมสำหรับคุณหรือเพื่อกำหนดการลงทุนหากคุณอยู่ในรั้วระหว่างสินทรัพย์ที่แตกต่างกันสองรายการ

อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าผลรวมของสี่เหลี่ยมใช้ประสิทธิภาพที่ผ่านมาเป็นตัวบ่งชี้และไม่รับประกันประสิทธิภาพในอนาคต

การแก้ไข - พฤษภาคม 1823-บทความนี้ได้รับการแก้ไขเพื่อระบุว่าค่าเฉลี่ยของผลรวมของสี่เหลี่ยมควรถูกลบออกจากจุดข้อมูล