ตัวเลขในจินตนาการเป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับเทคโนโลยีและวิศวกรรม

สำหรับนักคณิตศาสตร์การมีจดหมาย "ฉัน" เป็นตัวแทนของตัวเลขที่ไม่มีอยู่จริงและเป็น "จินตนาการ" อาจเป็นเรื่องยากที่จะพันหัวของคุณไปรอบ ๆ

อย่างไรก็ตามหากคุณเปิดใจกับวิธีคิดนี้โลกใหม่ทั้งหมดจะเป็นไปได้

ฉันเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาการวิเคราะห์: สาขาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขที่ซับซ้อน- แตกต่างจากจำนวนจริงที่คุ้นเคยมากขึ้น - จำนวนเต็มบวกและลบเศษส่วน, รากสี่เหลี่ยม, รากลูกบาศก์และแม้กระทั่งตัวเลขเช่น PI- ตัวเลขที่ซับซ้อนมีองค์ประกอบในจินตนาการ

ซึ่งหมายความว่าพวกเขาทำจากจำนวนจริงและจำนวนจินตนาการ i: สแควร์รูทของลบ 1

โปรดจำไว้ว่าสแควร์รูทของตัวเลขหมายถึงตัวเลขที่มีสี่เหลี่ยมเป็นจำนวนเดิม จำนวนเงินบวกตัวเองเป็นจำนวนบวก จำนวนเงินลบตัวเองเป็นจำนวนบวก จำนวนจินตภาพที่ฉันแสดงจำนวนอย่างใดเมื่อคูณด้วยตัวเองเป็นลบ

การสนทนาเกี่ยวกับตัวเลขในจินตนาการที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์มักจะนำไปสู่การคัดค้านเช่น "แต่ตัวเลขเหล่านั้นไม่มีอยู่จริงใช่ไหม?"

หากคุณเป็นหนึ่งในผู้คลางแคลงเหล่านี้คุณไม่ได้อยู่คนเดียว แม้แต่ยักษ์คณิตศาสตร์ก็พบว่าตัวเลขที่ซับซ้อนยากที่จะกลืน

สำหรับหนึ่งการโทร-√1 "จินตภาพ" ไม่ได้ทำสิ่งใดในการช่วยให้ผู้คนเข้าใจว่ามันไม่แปลกใจ นักคณิตศาสตร์Girolamo Cardanoในหนังสือเล่ม 1545 ของเขาที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขที่ซับซ้อน "ars magna"ไล่ออกพวกเขาว่า" บอบบางเหมือนไร้ประโยชน์ "

สม่ำเสมอลีออนฮาร์ดออยเลอร์หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคำนวณได้√ (-2) √ (-3) เป็น√6 คำตอบที่ถูกต้องคือ-√6

ในโรงเรียนมัธยมคุณอาจพบสูตรกำลังสองซึ่งให้วิธีแก้ปัญหาสมการที่ตัวแปรที่ไม่รู้จักถูกยกกำลังสอง-

บางทีครูโรงเรียนมัธยมของคุณไม่ต้องการจัดการกับปัญหาของสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อ (B2 - 4AC) - การแสดงออกภายใต้รากที่สองในสูตรกำลังสอง - เป็นลบ

พวกเขาอาจแปรงสิ่งนี้ภายใต้พรมเป็นสิ่งที่ต้องทำในวิทยาลัย

อย่างไรก็ตามหากคุณเต็มใจที่จะเชื่อในการดำรงอยู่ของรากที่สองของจำนวนลบคุณจะได้รับการแก้ปัญหาชุดสมการกำลังสองชุดใหม่ทั้งหมด ในความเป็นจริงโลกคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งและมีประโยชน์ทั้งหมดเข้ามาในมุมมอง: โลกแห่งการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน-

ตัวเลขที่ซับซ้อนทำให้ส่วนอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ง่ายขึ้น

คุณจะได้อะไรจากการก้าวกระโดดของศรัทธาในตัวเลขที่ซับซ้อน?

สำหรับหนึ่งตรีโกณมิติจะง่ายขึ้นมาก แทนที่จะจดจำสูตร Trig ที่ซับซ้อนหลายอย่างคุณต้องใช้สมการเดียวเท่านั้นที่จะปกครองพวกเขาทั้งหมด:สูตร 1740 ของออยเลอร์-

ด้วยทักษะพีชคณิตที่เหมาะสมคุณสามารถจัดการสูตรของออยเลอร์เพื่อดูว่าส่วนใหญ่สูตรตรีโกณมิติมาตรฐานใช้ในการวัดความยาวหรือมุมของสามเหลี่ยมกลายเป็นสแน็ป

แคลคูลัสก็ง่ายขึ้นเช่นกัน ในฐานะนักคณิตศาสตร์Roger Cotes-René Descartes- ผู้ประกาศเกียรติคุณคำว่า "จำนวนจินตภาพ" - และคนอื่น ๆ ได้สังเกตตัวเลขที่ซับซ้อนทำให้อินทิกรัลที่เป็นไปไม่ได้ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ไขและวัดพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งที่ซับซ้อน

ตัวเลขที่ซับซ้อนยังมีบทบาทในการทำความเข้าใจตัวเลขทางเรขาคณิตที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คุณสามารถสร้างด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศ ตามที่ระบุไว้โดยนักคณิตศาสตร์Jean-Robert ArgemandและCarl Friedrich Gaussคุณสามารถใช้ตัวเลขที่ซับซ้อนเพื่อจัดการกับตัวเลขทางเรขาคณิตเช่นเพนทออนและ octagons

การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนในโลกแห่งความเป็นจริง

การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนมีแอพพลิเคชั่นมากมายในโลกแห่งความเป็นจริง

นักคณิตศาสตร์Rafael Bombelli'sแนวคิดของการดำเนินการพีชคณิตเช่นการเพิ่มการลบการคูณและการหารด้วยตัวเลขที่ซับซ้อนทำให้สามารถใช้ในแคลคูลัสได้

จากที่นี่นักวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้ในฟิสิกส์เพื่อศึกษาสัญญาณ - หรือการส่งข้อมูล - สามารถจัดการได้และเข้าใจได้มากขึ้น

ตัวอย่างเช่นการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนใช้เพื่อจัดการเวฟเล็ตหรือความผันผวนเล็กน้อยในข้อมูล สิ่งเหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการลบเสียงรบกวนในสัญญาณที่อ่านไม่ออกจากดาวเทียมรวมถึงการบีบอัดภาพเพื่อการจัดเก็บข้อมูลที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น

การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนช่วยให้วิศวกรสามารถเปลี่ยนปัญหาที่ซับซ้อนให้กลายเป็นปัญหาที่ง่ายขึ้น ดังนั้นจึงเป็นเครื่องมือสำคัญในหัวข้อฟิสิกส์ที่ใช้หลายอย่างเช่นการศึกษาคุณสมบัติทางไฟฟ้าและของเหลวของโครงสร้างที่ซับซ้อน

เมื่อพวกเขารู้สึกสะดวกสบายมากขึ้นกับตัวเลขที่ซับซ้อนนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงเช่นKarl Weierstrass-Augustin-Louis CauchyและBernhard Riemannและคนอื่น ๆ ก็สามารถพัฒนาการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนได้สร้างเครื่องมือที่มีประโยชน์ซึ่งไม่เพียง แต่ทำให้คณิตศาสตร์และความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์ง่ายขึ้น แต่ยังทำให้พวกเขาเข้าใจได้มากขึ้น

วิลเลียมรอสส์ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยริชมอนด์

บทความนี้ถูกตีพิมพ์ซ้ำจากบทสนทนาภายใต้ใบอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์ อ่านบทความต้นฉบับ-