數學就在我們身邊，它以無數的方式塑造了我們對世界的理解。 2013 年，數學家兼科學作家 Ian Stewart 出版了一本關於改變世界的 17 個方程。我們最近發現了這張方便的桌子保羅·考克森的推特帳戶經過數學導師兼部落客拉里·菲利普斯總結了方程式。 （我們對每項的解釋如下）：
以下是關於這些塑造了數學和人類歷史的奇妙方程式的更多資訊：
1. 畢達哥拉斯定理
這個定理是我們理解幾何的基礎。它描述了平面上直角三角形邊之間的關係：將短邊 a 和 b 的長度平方，然後將它們加在一起，就得到長邊 c 的長度的平方。
這種關係在某種程度上實際上將我們的正常、平坦、歐幾里德幾何與彎曲的非歐幾里德幾何區分開來。例如，在球體表面繪製的直角三角形不需要遵循畢達哥拉斯定理。
2. 對數
對數是指數函數的倒數或相反數。特定底數的對數告訴您需要將該底數提高到多少次方才能得到一個數字。例如，1 以 10 為底的對數是 log(1) = 0，因為 1 = 100; log(10) = 1，因為 10 = 101; log(100) = 2，因為 100 = 102。
圖中的方程式 log(ab) = log(a) + log(b) 顯示了對數最有用的應用之一：它們將乘法轉換為加法。
在數位電腦發展之前，這是快速將大數相乘的最常見方法，大大加快了物理、天文學和工程領域的計算速度。
3. 結石
這裡給出的公式是微積分中導數的定義。導數衡量數量變化的速率。例如，我們可以將速度或速度視為位置的導數 - 如果您以每小時 3 英里（4.8 公里）的速度行走，那麼每小時您的位置就會改變 3 英里。
當然，許多科學對理解事物如何變化感興趣，而導數和積分——微積分的另一個基礎——是數學家和科學家如何理解變化的核心。
4. 萬有引力定律
牛頓萬有引力定律用一般常數 G、兩個物體的質量 m1 和 m2 以及物體之間的距離 r 來描述兩個物體之間的引力 F。牛頓定律是科學史上的一段非凡篇章——它幾乎完美地解釋了行星為何以它們的方式運動。同樣引人注目的是它的普遍性——這不僅是重力在地球或太陽系中的作用方式，而且是宇宙中任何地方的作用方式。
牛頓的萬有引力定律在 200 年內保持得很好，直到愛因斯坦的萬有引力理論才得以成立。它將被替換。
5. -1 的平方根
數學家有一直在擴展數字到底是什麼的概念，從自然數，到負數，到分數，到實數。 -1的平方根，通常寫成我，完成這個過程，產生複數。
從數學上來說，複數是極為優雅的。代數按照我們想要的方式完美地工作 - 任何方程式都有複數解，這種情況對於實數來說是不正確的：x2+ 4 = 0 沒有實數解，但有複數解：-2 的平方根。微積分可以擴展到複數，透過這樣做，我們發現了這些數字的一些驚人的對稱性和屬性。這些特性使得複數在電子和訊號處理中至關重要。
6. 歐拉多面體公式
多面體是多邊形的三維版本，就像右邊的立方體。多面體的角稱為頂點，連接頂點的線稱為邊，覆蓋多面體的多邊形稱為面。
正方體有 8 個頂點、12 條邊和 6 個面。如果我將頂點和麵加在一起，然後減去邊，則得到 8 + 6 – 12 = 2。
歐拉公式指出，只要你的多面體表現良好，如果你將頂點和麵加在一起，然後減去邊，你將始終得到2。的，或任意數量的面。
歐拉的觀察是現在所謂的最早的例子之一拓樸不變量- 彼此相似的一類形狀共享的一些數字或屬性。整個類別的「行為良好」多面體將具有 V + F – E = 2。柯尼斯堡橋樑問題，為拓樸學的發展鋪平了道路，拓樸學是現代物理學必不可少的數學分支。
7. 常態分佈
常態機率分佈（左側有熟悉的鐘形曲線圖）在統計學中無所不在。
常態曲線用於物理學、生物學和社會科學中來模擬各種屬性。常態曲線經常出現的原因之一是它描述大組獨立進程的行為。
8. 波動方程
這是一個微分方程，或是用該屬性的導數來描述屬性如何隨時間變化的方程，如上所述。波動方程式描述了波的行為－振動的吉他弦、丟石頭後池塘中的漣漪，或是白熾燈泡發出的光。波動方程是一個早期的微分方程，為求解該方程而開發的技術也為理解其他微分方程打開了大門。
9. 傅立葉變換
傅立葉變換對於理解更複雜的波結構（例如人類語音）至關重要。給定一個複雜、混亂的波函數，例如一個人說話的錄音，傅立葉變換允許我們將混亂的函數分解為許多簡單波的組合，從而大大簡化分析。
傅立葉變換是現代訊號處理和分析以及資料壓縮的核心。
10. 納維-斯托克斯方程
與波動方程一樣，這是一個微分方程。納維-斯托克斯方程式描述了流動流體的行為——水流過管道、空氣流過飛機機翼或香煙升起的煙霧。雖然我們有納維-斯托克斯方程式的近似解，可以讓電腦很好地模擬流體運動，但這仍然是一個懸而未決的問題（並獲得百萬美元獎金）是否可以構造方程式的數學精確解。
11.麥克斯韋方程組
這組四個微分方程式描述了電 (E) 和磁 (H) 的行為及其之間的關係。
麥克斯韋方程組對於經典電磁學就像牛頓運動定律和萬有引力定律對於經典力學一樣 - 它們是我們解釋電磁學如何在日常範圍內工作的基礎。然而，正如我們將看到的，現代物理學依賴電磁學的量子力學解釋，現在很明顯，這些優雅的方程式只是在人類尺度上運作良好的近似值。
12. 第二定律
這表明，在封閉系統中，熵 (S) 始終穩定或增加。粗略地說，熱力學熵是衡量系統無序程度的指標。以有序、不均勻狀態開始的系統（例如，一個熱區域緊鄰一個冷區域）總是趨於均勻，熱量從熱區域流向冷區域，直到均勻分佈。
熱力學第二定律是物理學中時間如此重要的少數情況之一。大多數物理過程都是可逆的——我們可以向後運行方程式而不會弄亂事情。然而，第二定律僅朝這個方向發展。如果我們把一塊冰塊放入一杯熱的水里，我們總是看到冰塊融化，卻從未看到咖啡結冰。
13.相對論
愛因斯坦用他的狹義相對論和廣義相對論從根本上改變了物理學的進程。經典方程式 E = mc2指出物質和能量彼此相等。引入了諸如光速是普遍速度限制以及以不同速度移動的人的時間流逝是不同的想法。
廣義相對論將引力描述為空間和時間本身的彎曲和折疊，這是自牛頓定律以來我們對引力理解的第一個重大改變。廣義相對論對於我們理解宇宙的起源、結構和最終命運至關重要。
14. 薛丁格方程
這是量子力學中的主要方程式。正如廣義相對論在最大尺度上解釋我們的宇宙一樣，這個方程式控制著原子和亞原子粒子的行為。
現代量子力學和廣義相對論是歷史上最成功的兩個科學理論——迄今為止我們所做的所有實驗觀察都與它們的預測完全一致。量子力學對於大多數現代技術也是必要的——核能、基於半導體的電腦和雷射都是圍繞量子現象構建的。
15. 資訊理論
這裡給出的方程式是香農資訊熵。與上面給出的熱力學熵一樣，這是無序度的度量。在這種情況下，它測量訊息的資訊內容 - 一本書、網路上發送的 JPEG 圖片或任何可以用符號表示的東西。訊息的香農熵表示在不遺失某些內容的情況下可以壓縮該訊息的程度的下限。
香農的熵測量開啟了資訊的數學研究，他的結果對於我們今天如何透過網路進行通訊至關重要。
16. 混沌理論
這個方程式是5月份的物流圖。它描述了一個隨時間演變的過程 - xt+1，某個數量 x 在下一個時間段的水平 - 由右側的公式給出，它取決於 xt，即當前 x 的水平。 k 是選定的常數。對於k 的某些值，映射顯示混沌行為：如果我們從x 的某個特定初始值開始，該過程將以一種方式演化，但如果我們從另一個初始值開始，即使是非常非常接近第一個值，過程將以完全不同的方式發展。
我們在許多領域都看到了混亂的行為——對初始條件敏感的行為。天氣是一個典型的例子 - 一天大氣條件的微小變化可能會導致幾天後完全不同的天氣系統，最常見的想法是蝴蝶在一個大陸扇動翅膀，在另一個大陸引發颶風。
17.布萊克-斯科爾斯方程
另一個微分方程 Black-Scholes 描述了金融專家和交易員如何找到衍生性商品的價格。衍生性商品——基於股票等基礎資產的金融產品——是現代金融體系的主要組成部分。
布萊克-斯科爾斯方程式允許金融專業人士根據衍生性商品和標的資產的屬性計算這些金融產品的價值。
本文原刊於商業內幕。
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