歡迎來到 2025 年！美好的一年，充滿了美好的事物。顯然，我們不是在談論地球的狀況——而是，考慮到所有事情。但數學呢？那是令人愉快的。
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讓我們從關於這個新年的最簡單的事實開始：2025 年是一個完美的四分相。它等於 45 × 45，這意味著如果我們畫一個邊長為 45 個單位的舊正方形，總面積將為 2025 個單位平方。
不信的話就數數吧。
圖片來源：©IFLScience
但這還不是全部：因為它是一個奇數正方形，所以它也是一個居中的八邊形數 - 這與平方數非常相似，正如它聽起來的那樣：這意味著我們可以畫一個完美的正好使用 2025 塊。
我們還可以變得更複雜：2025 是一個九角形數字（對於你們中少數不熟悉形狀名稱的人來說，這當然是一個 19 邊形）。對我們來說不幸的是，它是一個負的九角形數——-15——所以它有點不可能畫出來。
不過，我們知道這是正確的，因為所有九角形數均由以下公式給出：
氮米=米(17米- 15)/2
和撲通撲通米= -15 進入這個配方，我們得到 2025。
2025年的名字
除了正方形、八角形和九角形之外，2025 還有一些漂亮的名字。這是一個強大的數字：一個整數米這樣如果p|米， 然後p2|米。原因很簡單——452，等於（32）2×52——或者換句話說，它的每個素因數至少出現兩次。
它也是一個可重構的數字，或者說 tau 數字，這意味著它可以被它所具有的除數的數量整除。舉一個更簡單的例子，想想 18：它有 6 個約數——1、2、3、6、9 和 18——並且可以被 6 整除。同樣，2025 年有 15 個因子，其中之一確實是 15——根據記錄，整個列表為 1、3、5、9、15、25、27、45、75、81、135、225、405、675 和 2025。
2025年的定理
讓我們來談談好東西吧？我們已經看到 2025 年是一個完美的正方形，但再深入一點，我們會看到一些更漂亮的圖案。四十五，這個數的平方根，也是一個三角數，並且那意味著我們可以把它寫成連續數字的和。像這樣：
45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9。
這意味著
2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)2,
這當然很好，但這還不是全部。感謝古希臘的追隨者尼科馬科斯對於生活在公元 60 年到公元 120 年之間的人來說，我們知道可以這樣寫的數字——三角形數字的平方——還有另一個有趣的特性：它們可以重寫為這些相同數字的立方之和。換句話說，因為
2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)2,
我們也知道
2025 = 13+ 23+ 33+ 43+ 53+ 63+ 73+ 83+ 93。
那不是很酷嗎？有幾種方法可以證明這一點——最好的方法之一就是這個無文字的證明：
整潔吧？
另一種方法是利用平方數和立方數本身的性質——事實上，這才是老尼馬科斯真正獲得功勞的地方，而不是注意到定理本身。他的同名結果退了一步，從技術上講是這樣的：
∀nε氮>0：n3=（n2-n+1) + (n2-n+3) + … + (n2+n−1)。
這可能看起來……好吧，就像它是用另一種語言編寫的，而且確實是這樣，但實際上它只是意味著任何數字n立方可以寫成n從 ( 開始的連續奇數n2-n+1）。像這樣：
1 = 1
8 = 3 + 5
27 = 7 + 9 + 11
64 = 13 + 15 + 17 + 19
125 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29
等等。
現在，像這樣寫出來，您可能已經看到了一個很好的模式，對吧？如果你總結第一條k數字的立方，你會得到
13+ 23+ 33+ … +k3= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + (k2-k+1) + (k2-k+3) + … + (k2+k−1)。
但現在讓我們看一下平方數。它們也有類似的模式——可以這樣寫：
1 = 1
4 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5
16 = 1 + 3 + 5 + 7
25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
等等——即，的平方n等於第一個的總和n奇數。
但你猜怎麼著？我們之前找到的總和是正是如此– 這是第一個 (k2+k)/2 個奇數！換句話說，
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + (k2-k+1) + (k2-k+3) + … + (k2+k−1) = ((k2+k)/2)2。
所以只剩下一件事需要證明，那就是（k2+k)/2 等於第一個的總和k自然數。幸運的是，這非常簡單 - 這是三角形數的定義（或者，如果您願意，您可以直觀地完成：
三角形數字（陰影部分）是一半nx (n+1) 矩形。
圖片來源：©IFLScience
不管你如何證明這一點，沒有說謊：(n立方）等於（總和n) 的平方。現在正是對這個美好的小結果贊不絕口的好時機，因為 2025 年完美地證明了這一點。新年快樂！
