套利定价理论：不仅仅是花哨的数学

套利定价理论（APT）是替代资本资产定价模型（CAPM）解释资产或投资组合的回报。它是由经济学家开发的斯蒂芬·罗斯在1970年代。历年，套利定价理论其相对简单的假设因其相对简单的假设而变得越来越受欢迎。但是，套利定价理论在实践中更难应用，因为它需要大量数据和复杂的统计分析。

让我们看看什么是套利定价理论，以及如何将其付诸实践。

关键要点

套利是同时以两种不同的价格购买和出售同一商品以获得无风险利润的做法。
在金融经济学中，套利定价理论（APT）假设市场效率低下是不时引起的，但通过套利者的工作进行了检查，这些套利者的工作识别并立即消除了这些机会。
APT使用多因素公式进行正式化，该公式将资产预期回报与各种宏观经济变量之间的线性关系相关联。

什么是apt？

APT是一种基于金融资产预期收益与其风险之间的关系的多因素技术模型。该模型旨在捕获资产回报对某些变化的敏感性宏观经济变量。投资者和财务分析师可以使用这些结果来帮助价格证券。

套利定价理论固有的是信念错误的证券可以代表短期，无风险的利润机会。 APT与仅使用一个因子的更传统的CAPM不同。但是，像CAPM一样，APT假定因子模型可以有效地描述风险与回报之间的相关性。

3个基本假设

与资本资产定价模型不同，套利定价理论并不认为投资者持有有效的投资组合。

但是，该理论确实遵循三个基本假设：

资产回报由系统因素解释。
投资者可以建立资产组合具体风险通过多元化消除。
多元化的投资组合中没有套利机会。如果确实存在任何套利机会，他们将被投资者剥削。（这就是理论的名字。）

资本资产定价模型的假设

我们可以看到，这些假设比资本资产定价模型的假设更轻松。该模型假设所有投资者都对平均回报和资产差异。它也假定相同有效的边界所有投资者都可以使用。

对于多元化的投资组合，描述套利定价理论的基本公式可以写为以下内容：

$\ begin {Aligned}＆e（r_p）= r_f + \ beta_1 f_1 + \ beta_2 f_2 + \ dotso + \ beta_n f_n f_n f_n \\ \ \ \＆\ textbf {wery：}}} \ \ \ \ \\＆e（r_p）＆\ beta_n = \ text {对} n \\＆f_n = n^{th}的敏感性$ e（（rp）=rf+b1f1+b2f2+…+bnfn在哪里：e（（rp）=预期的回报rf=无风险回报bn=对因素的敏感性nfn=nth要素价格

r_f如果资产没有接触任何因素，就是回报，也就是说

$\ beta_n = 0$ bn=0

与资本资产定价模型不同，套利定价理论并未指定这些因素。但是，根据斯蒂芬·罗斯（Stephen Ross）和理查德·罗尔（Richard Roll）的研究，最重要的因素是：

根据研究人员罗斯（Ross）和劳德（Ross）的说法，如果在上述因素的变化中毫不奇怪，实际收益将等于预期的回报。但是，如果对因素发生意外变化，实际收益将定义如下：

$\ begin {Aligned}＆r_p = e（r_p） + \ beta_1 f'_1 + \ beta_2 f'2 + \ dotso + \ beta_n f'_n f'_n + e \\ e \\ e \\ e \\＆\ textbf {were：} &\ \text{ surprise factor}\end{aligned}\\ &e=\text{The residual part of actual return}\\ &7\% = 2\% + 3.45*f_1 + 0.033*f_2\\ &f_1= 1.43\%\\ &f_2= 2.47\%\\ &E(R_i) = 2\% + 1.43 \％*\ beta_1 + 2.47 \％*\ beta_2 \\ \ end {aligned}$ rp=e（（rp）+b1f1'+b2f2'+…+bnfn'+e在哪里：fn'=因素的意外变化或惊喜因素e=实际收益的残留部分7％=2％+3。45*f1+0。033*f2f1=1。43％f2=2。47％e（（r我）=2％+1。43％*b1+2。47％*b2

请注意f'_n是因素或惊喜因素的意外变化，E是实际收益的残留部分。

估计因子敏感性和因子保费

我们如何真正获得因素敏感性？回想一下，在资本资产定价模型中，我们得出了资产beta，该资产beta可以通过简单地回归对市场收益的实际资产回报来衡量对市场收益的敏感性。得出因素的beta几乎是相同的过程。

为了说明估计的技术ß_n（对因子n的敏感性）和f_n（第n个因子价格），，，，让我们来标准普尔500总回报指数和纳斯达克综合总回报指数作为我们希望找到的多样化投资组合的代理ß_n和f_n。为简单起见，我们假设我们知道r_f（无风险回报）是2％。我们还将假设投资组合的年度预期回报率为7％，标准普尔500总数为7％，纳斯达克综合总回报指数为9％。

步骤1：确定系统因素

我们必须确定通过说明投资组合回报的系统因素。让我们假设真实国内生产总值（GDP）增长率和10年期债券收益率的变化是我们需要的因素。由于我们选择了两个具有较大组成部分的指数，因此我们可以相信我们的投资组合非常多样化，而特定风险接近零。

步骤2：获取Beta

我们跑了一个回归关于每个指数的历史季度数据，针对季度实际GDP增长率和季度的t键收益率变化。请注意，由于这些计算仅用于说明目的，因此我们将跳过回归分析的技术方面。

这是结果：

索引（投资组合的代理）	ß₁GDP增长率	ß₂双键的产量变化
标准普尔500总回报指数	3.45	0.033
纳斯达克综合总回报指数	4.74	0.098

回归结果告诉我们，这两个投资组合对GDP增长率具有更高的敏感性（这是合乎逻辑的，因为GDP增长通常反映在股票市场的变化中），并且对T键的产量变化的敏感性非常小（这也是合乎逻辑的，因为库存对收益率的敏感性不如债券敏感）。

步骤3：获取要素价格或因素保费

现在我们已经获得了beta因素（请参见上表），我们可以估计要素价格（即，f₁和f₂）求解以下方程组：

$7 \％= 2 \％ + 3.45*f_1 + 0.033*f_2$ 7％=2％+3。45*f1+0。033*f2

$9 \％= 2 \％ + 4.74*f_1 + 0.098*f_2$ 9％=2％+4。74*f1+0。098*f2
解决我们得到的这些方程：

$F_1 = 1.43 \％$ f1=1。43％和

$F_2 = 2.47 \％$ f2=2。47％

因此，是一般前面套利定价理论方程式我投资组合将如下：

$e（r_i）= 2 \％ + 1.43 \％*\ beta_1 + 2.47 \％*\ beta_2$ e（（r我）=2％+1。43％*b1+2。47％*b2

利用套利机会

无障碍条件背后的想法是，如果市场上有错误定价的安全性，投资者总是可以构建具有与错误定价证券相似的因素敏感性的投资组合，并利用套利机会。

例如，假设除我们的索引投资组合外，还有一个ABC投资组合，下表提供了相应的数据：

文件夹	预期的回报	ß₁	ß₂
标准普尔500总回报指数	7％	3.45	0.033
纳斯达克综合总回报指数	9％	4.74	0.098
ABC投资组合（或套利投资组合）	8％	3.837	0.0525
*组合索引投资组合= 0.7S＆P500+0.3NASDAQ*	7.6％	3.837	0.0525

我们可以从前两个索引投资组合（标准普尔500指数总回报指数重量为70％，纳斯达克复合材料总回报指数重量为30％）的投资组合，其因子敏感性与ABC投资组合相似，如表的最后一行所示。我们将其称为组合的索引投资组合。合并的指数投资组合与系统因素具有与ABC投资组合相同的BETA，但预期回报率较低。

这意味着ABC投资组合被低估了。然后，我们将简要介绍合并的索引投资组合，并在这些收益下购买ABC投资组合的股票，这也称为套利投资组合（因为它利用了套利机会）。由于所有投资者都会出售高估并购买被低估的投资组合，这将带走任何套利利润。这就是为什么该理论称为套利定价理论的原因。

底线

套利定价理论是资本资产定价模型的替代模型，试图用系统因素和资产/投资组合对此类因素进行资产或投资组合回报。该理论估计了良好的投资组合的预期回报，其基本假设是投资组合是多样化的，并且与市场平衡价格的任何差异都将被投资者立即驱逐出境。实际收益和预期回报之间的任何差异都取决于因素惊喜（预期因素和实际值之间的差异）。

套利定价理论的缺点是它没有指定系统因素，但是分析师可以通过回归历史来找到这些因素投资组合返回反对等因素真正的GDP增长率，通货膨胀变化，期限结构变化，风险溢价变化等。回归方程使评估哪些系统因素可以解释投资组合收益，哪些没有。