了解二项式定价模型

二项式选项定价模型在1970年代开发，是臭名昭著的复杂问题的看似简单方法。您如何评价期权，即赋予买方在给定日期或之前以一定价格购买或出售股票或其他资产的权利的衍生产品？该模型想象一个世界，股票价格只能上下移动，例如树的树枝。这个基本假设产生了一种显着准确性和灵活性的工具。

估价选项是一个臭名昭著的问题，相比之下，估值股票显得很容易。给定多个变量，非线性关系以及不确定的未来结果，您不仅在猜测上涨或下降的价格。期权价值取决于资产价格，罢工价格，到期，利率和波动性不断降低的因素。再加上尽早运动的潜力，您将面临一个多维难题，即使经验丰富的商人也会混淆。

没有良好模型的定价选项就像试图在乘坐过山车时碰到一个移动的目标。您不仅可以预测资产价格的位置，还可以预测它如何沿途移动以及该运动在每时每刻如何影响期权的价值。

该模型的重要性远远超出了其发明的学术界。它是风险管理的关键工具，帮助银行和公司对冲市场波动。了解二项式模型可能导致更明智的交易决策，并为投资者带来更高的回报。尽管具有力量，但该模型的基础知识令人惊讶地访问。

在未来的部分中，我们将浏览其内部运作方式以及一些现实世界的使用示例。我们还将看到它与另一个著名的期权交易模型进行比较黑色choles。无论您是期权交易者，风险经理还是对财务建模感到好奇，了解二项式期权定价模型都是有价值的。

选择定价的迅速增长导致对这些定价模型感兴趣的人的增加。

了解二项式定价模型

选项是财务合同赋予买方以某个日期或之前以预设价格购买或出售基础资产（如股票）的权利但没有义务。例如，呼叫选项允许持有人以特定价格购买股票，而看跌期权允许以特定价格出售。弄清楚为这些选择支付的公平价格对于交易它们的任何人都很重要。

有几种重视选择的方法，每种方法都有自己的优点和劣势。最广泛使用的是黑色choles模型。 Black-Scholes于1973年开发，使用复杂的数学来估计期权价格。虽然强大，但它有一些主要限制。它假设基础资产价格遵循一条平稳的道路，并且波动性在期权的寿命中保持不变。它也很难处理美国风格的选择可以在到期之前行使。

约翰·考克斯（John Cox），斯蒂芬·罗斯（Stephen Ross）和马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）于1979年开发的二项式选项定价模型提供了一种不同的方法，可以解决一些黑人甲的局限性。定价选项的二项式模型取决于一个简单而优雅的想法：将一个复杂的问题分解为许多较小，更易于管理的零件，即较小的时期。在每个步骤中，模型都假定基本资产（如股票）只能做两件事之一，即价格上涨或下降。

通过列出股票价格可能会采取的所有可能途径，并从期权收益到期的期权收益后退，二项式模型确定了该期权的公允价值。让我们将其与常规安全性进行比较。假设您正在尝试在明年以股票价格进行评估。有无数可能影响价格的因素：经济状况，公司绩效，市场情绪等。试图一次考虑所有这些变量将是压倒性的。

二项式模型通过做出关键的假设来简化此问题：在任何给定时刻，价格只能以两个方向之一的方式移动（无论是向上还是向下）。这似乎是一个过于简单的，但是通过在一系列离散的时期重复多次选择，该模型可以近似实际股票价格的复杂行为。

二项式定价模型的工作方式

这是这样做的方法：

1. 将到期的时间分为大量的小时间隔或步骤。
2. 在每个步骤中，假设股票价格只能做两件事之一：
3. 通过一定因素（u）向上移动
4. 通过一定因素向下移动（d）
5. “ U”和“ D”因素是根据股票的波动（其价格倾向于转移的多少）和每个时间步长的长度来选择的。
6. 通过在许多步骤上遵循此上/下降过程，该模型创建了二项式树，一个图表描绘了股票价格从现在开始到期权到期的所有可能路径。请参见下面的示例。

那么，这如何有助于重视选项？关键是从树的尽头开始（到期日）并向后工作。

• 到期时，我们将确切地知道在每个最终可能的股票价格上的期权价值。那是因为，对于通话选项，这是股票价格降低罢工价格（如果股票低于罢工，则为零）。对于放，这是罢工价格减去股票价格（如果股票高于罢工，则零）。
• 现在，我们退后到二次。对于每对上/下节点，我们可以在下一个时期计算选项的预期值（考虑到上下移动的概率）。
• 以无风险的利率将此期望值折回一个时期，这使我们在当前的每个节点上的期权价值。
• 我们重复此过程，向后工作，直到在开始节点处具有单个值。这是模型对当今期权公允价值的估计。

为什么模型有效

通过分解时间到达许多小步骤，并假设股票价格只能在每个步骤中上升或下降，则该模型创建了一棵二项式树，该树可以近似于可能的价格路径。随着步骤数的增加，树开始类似于我们在现实世界中看到的连续价格移动。

但是，该模型可以处理投资者经常规避风险的事实吗？关键在于仔细选择向上和向下的因素（“ U”和“ D”的大小）以及分配给它们的概率（P和1-P）。这些是根据股票观察到的波动性和在不明确对其风险偏好建模的风险溢价中建立的无风险利率进行校准的。这种聪明的方法被称为风险中立估值。

这使该模型可以将选项视为未来收益的简单折扣期望值。虽然不完美，但对于选项定价，它被证明是坚固且直观的，结合了数学严格和实际的灵活性。

黑色choles vs.二项式选项定价模型

二项式定价模型具有多种优势，使其成为交易者和分析师中的流行选择。它的主要优点之一是其灵活性。与黑色choles模型不同，该模型假定常数挥发性而且是连续的价格过程，二项式模型可以适应不断变化的波动性和离散价格变化。

这使其更适合现实情况。该模型也是直观且相对易于理解的，因为它基于每个步骤中某些因素上涨或下降的股票价格的简单概念。

二项式模型的另一个重要优势是它重视美国式选择的能力，可以在到期前的早期运动。相比之下，黑色choles模型是为欧洲风格只能在有效期行使的选项。通过通过二项式树向后工作，该模型可以检查早期练习是否在每个步骤中都是最佳的，从而适合于更广泛的选项合同。

但是，二项式模型也有一些约束。一个缺点是它需要许多计算，尤其是对于长期到期时间的选项。随着树中的步骤数量的增加，该模型可以在计算中变得密集。另外，尽管模型灵活，但它仍然依赖一些简化的假设。例如，它通常假定无风险利率而且，股票的波动性在选项的寿命上是不变的，这并不总是正确的。

尽管存在这些限制，但二项式模型还是选择定价的有价值的工具。它平衡了更先进的模型的计算复杂性和更简单的模型（如黑色choles）的限制性假设。

二项式选项评估示例

假设股票的交易价格为100美元。我们有一个在这笔钱该股票的通话选项为100美元，一年后到期。假设我们认为，一年后，该股票的价格将达到110美元，或下跌至90美元。

两个交易者，爱丽丝和鲍勃，就这些可能的未来价格达成了一致，但在概率上不同意：

• 爱丽丝认为，该股票有60％的机会上升到110美元。
• 鲍勃认为该股票只有40％的机会上涨110美元。

您认为谁会为电话选项付出更多？您可能会认为爱丽丝对股票上涨更加乐观。但是，这是二项式模型揭示一些有趣的东西的地方。

使用二项式模型（并假设无风险利率为5％），我们计算出该呼叫期权的公平价格约为7.14美元，无论爱丽丝或鲍勃对概率的看法如何。

为什么？因为二项式模型使用了一种称为“风险中性定价”的东西。实际概率是什么都没关系。重要的是可能的未来价格与当前价格之间的关系。

二项式选项计算

这是这样做的方法：

1。创建“无风险”投资组合：假设您可以创建股票的组合以及无论股价如何，可以为您带来相同结果的选择。这称为“无风险”投资组合。

2。构建投资组合：假设您购买了一定数量的股票（我们将此号码称为“ D”）并出售一个呼叫选项。

3。考虑两种情况：

• 如果股票高达110美元，您的股票价值110×d。您在选项上损失$ 10：-10 - >总价值：110d -10。
• 如果股票跌至90美元，您的股票价值为90×d。该选项到期毫无价值：0->总价值：90d。

4。使投资组合无风险：为了真正“无风险”，两种情况都应给出相同的结果，因此您可以将它们设置为相等：110d -10 = 90d。

5。解决d：20d = 10简化为d = 0.5。这意味着您需要为您出售的每种选择购买半股股票，以创建无风险的投资组合。

6。计算投资组合价值：此无风险投资组合的价值为90×0.5 = 45

7。应用无风险利率：由于该投资组合是无风险的，因此应该在一年中获得无风险的利率（例如5％）。因此，其现在值为45 /（1 + 0.05）= 42.86。

8。计算期权价格：投资组合的价值（42.86）应等于一半股的值减去期权价格：42.86 = 0.5×100-期权价格 - >期权价格= 7.14

因此，通话选项的公平价格为$ 7.14。

此方法向我们展示了如何为期权定价，而无需猜测股票上涨或下降的可能性。这是基于这样的想法：如果有明显的利润，交易者将很快利用它，从而使这种前景消失。

但是，在所有这些计算中，大肆宣传的波动率在哪里，这是影响期权定价的基本和敏感因素？这挥发性问题本身已经包含。假设有两个价格水平（110美元和90美元），则在此假设中隐含了波动率，并自动包含（在此示例中以任何方式）。

但是，这种方法与常用的黑色 - choles定价模型相比如何？在线期权计算器（由期权行业理事会提供）与计算值密切匹配：

二项式选项定价数学

不幸的是，现实世界并不像“只有两个州”那么简单。该股票在到期之前可以达到几个价格水平。

是否可以将所有这些多个级别包括在仅限两个级别的二项式定价模型中？是的，这是可能的，但是了解这需要一些简单的数学。

概括这个问题和解决方案：

说“ X”是股票的市场价格，“ X×U”和“ X×D”是多年后上下移动“ T”的未来价格。 “ U”因子将大于一个，表明移动的移动将大，而“ D”将位于零和一个之间。在上面的示例中，u = 1.1和d = 0.9。

电话期权收益是“ P_向上”和“ p_Dn”分别在到期时进行上下移动。

如果您建立了今天购买的“ S”股份的投资组合，并在时间“ T”之后，您将有以下内容：

$\ begin {Aligned}＆\ text {vum} = s \ times x \ times u -p_ p_ \ p_ \ text {up}$​的=s×x×你- p向上​在哪里：的=投资组合的价值在上升的情况下​

$\ begin {Aligned}＆\ text {vdm} = s \ times x \ times x \ times d - p_ \ p_ \ text {down} \\＆\ textbf {where：} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ text {vdm} = \ textfolio的{$​VDM=s×x×d- p向下​在哪里：VDM=投资组合的价值在下降的情况下​

对于任何一种价格转移的情况，都可以使用以下估值：

$s \ times x \ times u -p_ \ text {up} = s \ times x \ times x \ times d -p_ p_ \ text {down}$s×x×你- p向上​=s×x×d- p向下​

$\ begin {Aligned} s＆= \ frac {p_ \ text {up} -p_ \ p_ \ text {down}} {x \ times（u -d）} \\＆= \＆= \ text {要购买的要购买的共享数量}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ phantom {=} = phantom {al field port {Align park {al field port {$s​=x×（（你- d）p向上​- p向下​​=购买的股票数量=无风险投资组合​

“ T”年末投资组合的未来价值将是：

$\ begin {Aligned} \ text {如果移动}＆= s \ times x \ times x \ times u -p_ p_ \ text {up}$如果向上移动​=s×x×你- p向上​=你- dp向上​- p向下​​×你- p向上​​

$\ begin {Aligned} \ text {如果移动}＆= s \ times x \ times x \ times d -p_ p_ p_ \ text {down} \\＆= \ frac {p_ \ text {up} - p_ \ p_ \ p_ \ p_ \ text}$如果移动下降​=s×x×d- p向下​=你- dp向上​- p向下​​×d- p向下​​

当前的价值可以通过以无风险的回报率对其进行打折来获得：

$\ begin {Aligned}＆\ text {pv} = e（-rt）\ times \ left [\ frac {\ frac {p_ \ text {up} - p_ \ p_ \ p_ \ text {down}} {u -d} {u -d} \ times u -times u -p_ p_ p_ p_ \ p_ \ p_ \ text} \ text {present-day value} \\＆r = \ text {返回率} \\＆t = \ text {time，in Beys} \\ \ end end {Aligned}$​PV=e（（- rt）×[你- dp向上​- p向下​​×你- p向上​这是给出的在哪里：PV=当今价值r=回报率t=时间，几年​

这应该与价格x的“ S”股份的投资组合持有与短呼叫值“ C”（当今的持有（S×X -C）的持有（应该是此计算的答案）。）解决“ C”的求解最终提供了以下内容：

注意：如果缩短了呼叫溢价，则应是投资组合的补充，而不是减法。

$C = \ frac {$c=你- de（（- rt）​×（（（（e（（- rt）- d）×p向上​+（（你- e（（- rt））×p向下​这是给出的

编写方程式的另一种方法是重新安排它：

如下所示：

$q = \ frac {e（-rt）-d} {u -d}$问=你- de（（- rt）- d​

然后方程变为：

$c = e（-rt）\ times（q \ times p_ \ text {up} +（1- q）\ times p_ \ text {down}）$c=e（（- rt）×（（问×p向上​+（（1- 问）×p向下​）

用“ Q”来重新安排方程式提供了新的视角。

现在，您可以将“ Q”解释为基础移动的概率（因为“ Q”与P相关_向上和“ 1-Q”与P相关_Dn）。总体而言，方程表示当今期权价格，其在到期时的回报折扣价值。

为什么这个“ Q”是不同的

这种概率“ q”与基础资产的向上或向下移动的概率有何不同？

$\ begin {Aligned}＆\ text {vsp} = q \ times x \ times u +（1- q）$​VSP=问×x×你+（（1- 问）×x×d在哪里：VSP=股票价格的价值t​

代替“ Q”和重新排列的价值，时间“ T”的股票价格如下：

$\ begin {对齐}＆\ text {stock Price} = e（rt）\ times x \\\ end {aligned}$​股价=e（（rt）×x​

假设只有两个州，股票价格依靠无风险的回报率上升，就像无风险的资产一样，因此仍然独立于任何风险。在此模型下，投资者对风险无动于衷。因此，这形成了风险中性模型。

该示例具有一个基本要求：精确度需要未来的回报结构（110美元和90美元）。在现实生活中，对基于步骤的价格的清晰度是不可能的。相反，价格可能会达成多个级别。

为了进一步扩展示例，假设可能有两个步骤的价格水平。我们知道第二步的最终收益，我们需要今天（在第一步）重视该选项：

向后工作，可以使用第2步（t = 2）的最终收益进行中间的第一步估值（t = 1），然后使用这些计算出的第一步估值（t = 1），可以达到当前的估值（t = 0）。

为了获得第二名的选项定价，使用第四和第五的收益。为了获得第三名的定价，使用了五个和六的收益。最后，计算出的收益在两个和三个方面用于以第一名的价格获得定价。

请注意，此示例假定在这两个步骤下移动的同一因素：U和D以复杂的方式应用。

示例＃1

假设放置选项罢工价格为110美元，交易价格为100美元，一年后到期。年度无风险利率为5％。预计价格将上升20％，每六个月下降15％。

在这里，使用上述派生公式

$q = \ frac {e（-rt）-d} {u -d}$问=你- de（（- rt）- d​

Q = 0.35802832

因此，第2点选项的价值如下：

$\ begin {Aligned}＆p_2 = e（-rt）\ times（p \ times p_ \ text {upup} +（1- q）p_ \ text {pextn}）\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ textbf {wery：}$​p2​=e（（- rt）×（（p×pupp​+（（1- 问）pUPDN​）在哪里：p=看望的价格​

在p_upp条件，基础将为= 100×1.2×1.2 = $ 144，导致P_upp=零。

在p_UPDN条件，基础将为= 100×1.2×0.85 = $ 102，导致P_UPDN= $ 8。

在p_Dndn条件，基础将为= 100×0.85×0.85 = $ 72.25，导致P_Dndn= $ 37.75。

p₂= 0.975×（0.358×0 +（1-0.358）×8）= 5.008970741。

同样，p₃= 0.975×（0.358×8+（1-0.358）×37.75）= 26.43。

$p_1 = e（-rt）\ times（q \ times p_2 +（1- q）p_3）$p1​=e（（- rt）×（（问×p2​+（（1- 问）p3​）

因此，PUT选项的价值，P₁= 0.975×（0.358×5.01+（1-0.358）×26.43）=$ 18.29。

同样，二项式模型使您可以将整个选项持续时间分为更精致的水平。使用计算机程序或电子表格，您可以一次向后进行一个步骤，以获取所需选项的现值。

示例＃2

假设一个欧洲式的投票期权有9个月的到期，罢工价格为12美元，基础价格为10美元。假设所有时期的无风险率为5％。假设每三个月，基础价格可以上下移动20％，使我们u = 1.2，d = 0.8，t = 0.25，三步二项式树。

红色表示潜在的价格，而蓝色是为了获得前选项的回报。

风险中立的概率“ Q”计算为0.531。

使用上述“ Q”的值和t =九个月时的回报值，计算t =六个月时的相应值如下：

此外，在t = 6时使用这些计算值，在t = 3处的值，然后在t = 0处的值如下：

这使PUT选项的当前价值为$ 2.18，非常接近您使用Black-Scholes模型进行计算的情况，即$ 2.30。

底线

尽管计算机程序可以使这些计算更容易，但是预测未来价格仍然是二项式模型的重大限制。时间间隔越好，以高级精度预测每个时期结束时的收益越困难。

但是，在不同时期期预期的更改合并的灵活性是加号，这使其适合于美国选择，包括早期锻炼估值。使用二项式模型计算得出的值与从黑色 - 甲基（Black-Scholes）等其他常用模型计算出的值非常匹配，这表明二项式模型是有用且准确的。二项式定价模型可以根据交易者的喜好开发，并且可以作为黑色choles的替代方案。