連續複合興趣：它如何與示例一起工作

連續的複合利息是貸款利息的公式，餘額隨著時間的流逝不斷增長，而不是以離散的間隔計算。該公式比其他化合物的方法更簡單，它允許其增長速度比其他計算方法更快。

當利息更加複雜時，貸款的利息會更快地累積。例如，每季度複合的貸款將比每年復合的相同利率積累更多的利息。由於它是在最小可能的間隔內計算的，因此連續複合興趣的回報最高。

連續複合是複合興趣可以達到的數學限制。這是一個極端的複雜案例，因為大多數興趣每月或半年度都會復雜化。

了解複雜的興趣

首先，讓我們看看一個可能令人困惑的習俗。在債券市場中，我們指的是債券等效產量（或債券等效基礎）。這意味著，如果債券按半年一年的基礎收益6％，其債券等效收益率為12％。

半年度的產量只是翻了一番。這可能令人困惑，因為有效的產量在12％的債券等效債券中為12.36％（即1.06^2 = 1.1236）。將半年度產量加倍只是債券命名慣例。因此，如果我們閱讀了大約8％的債券一年一次，則假設這是指半年度的4％。

季度，每月和每日收益率

現在，讓我們討論更高的頻率。我們仍在假設每年12％市場利率。在債券命名慣例下，這意味著半年度複合率為6％。現在，我們可以表達季度複合率與市場利率的關係。

給定年價格（r），季度複合率（r_問）由：

 $\ begin {Aligned}＆r_q = 4 \ left [\ left（\ frac {r} {2} {2} + 1 \ right） ^ \ frac {1} {2} {2} - 1 \ right] \\ \ \ \ end end eND {aligned}$​r問​=4[（（2r​+1）21​- 1這是給出的​

因此，舉例來說，在年度市場匯率為12％的情況下，季度複合率為11.825％：

 $\ begin {Aligned}＆r_q = 4 \ left [\ left（\ frac {12 \％} {2} {2} + 1 \ right） ^ \ frac {1} {2} {2} {2} - 1 \ right] \ cong 11.825$​r問​=4[（（212％​+1）21​- 1這是給出的≅11。825％​

類似的邏輯也適用於每月復合。每月復合率（r_m）在此作為年度市場利率的功能（r）：

 $\ begin {Aligned} r_m＆= 12 \ left [\ left（\ frac {r} {2} + 1 \ right） ^ \ frac {1} {1} {6} {6} - 1 \ right] \\＆= 12 \＆= 12 \ weft [\ left [\ left（ 1 \ right] \\＆\ cong 11.71 \％\\ \ end {對齊}$rm​​=12[（（2r​+1）61​- 1這是給出的=12[（（212％​+1）61​- 1這是給出的≅11。71％​

每日復合率（d）作為市場利率的函數（R）由：

 $\ begin {Aligned} r_d＆= 360 \ left [\ left（\ frac {r} {2} {2} + 1 \ right） ^ \ frac {1} {1} {180} {180} - 1 \ right] \\＆= 360 \ 360 \左[ 180} -1 \ right] \\＆\ cong 11.66 \％\\ \ end {aligned}$rd​​=360[（（2r​+1）1801​- 1這是給出的=360[（（212％​+1）1801​- 1這是給出的≅11。66％​

在較小的間隔上複合

如果我們將復合頻率提高到其極限，我們將連續複合。儘管這可能不實用，但連續複合的利率提供了出色的方便屬性。

事實證明，連續複雜的利率由：

$\ begin {Aligned}＆r_ {連續} = \ ln（1 + r）\\ \ end {aligned}$​r公司nt在你o你s​=Ln（（1+r）​

ln（）是自然日誌，在我們的示例中，連續複雜的速率是：

 $\ begin {Aligned}＆r_ {連續} = \ ln（1 + 0.12）= \ ln（1.12）\ cong 11.33 \％\％\\ \ end end {aligned}$​rcont我n你o你s​=Ln（（1+0。12）=Ln（（1。12）≅11。33％​

我們通過獲取此比率的自然日誌到達同一位置：最終值除以起始值。

 $\ begin {Aligned}＆r_ {連續} = \ ln \ left（\ frac {\ frac {\ text {valit} _ \ text {end}} {\ text} {\ text {varte {valte} _ \ text {start}}}}}}} \ right） \\ \ end {Aligned}$​rcont我n你o你s​=Ln（（價值開始​價值結尾​​）=Ln（（100112​）≅11。33％​

當計算股票的連續複合回報時，後者很常見。例如，如果股票從一天的10美元上漲到第二天的$ 11，則每日持續的複利將由：

 $\ begin {Aligned}＆r_ {連續} = \ ln \ left（\ frac {\ frac {\ text {valte} _ \ text {end}} {\ text} {\ text {vorte} _ \ text} _ \ text {start}}}}} \ right） 9.53 \％\\ \ end {aligned}$​rcont我n你o你s​=Ln（（價值開始​價值結尾​​）=Ln（（$10$11​）≅9。53％​

連續複雜的速率（或返回）有什麼好處，我們將用r表示_c？首先，很容易將其縮放。鑑於（p）的校長，我們在（n）年以來的最終財富由以下方式給出：

 $\ begin {Aligned}＆w = pe ^ {r_c n} \\ \ end {aligned}$​w=perc​n​

注意e是指數函數。例如，如果我們從100美元開始，並在三年內連續8％以8％的速度複合，則最終財富將由以下方式提供：

 $\ begin {Aligned}＆w = \ $ 100E ^ {（0.08）（3）} = \ $ 127.12 \\\ \ end end {aligned}$​w=$100e（（0。08）（（3）=$127。12​

打折現值（PV）僅僅是反向複合，所以未來價值（f）以（f）連續地以r_c）由：

 $\ begin {aligned}＆\ text {f text {pv of F in（n）年} = \ frac {f} {e ^ {e ^ {r_c n}} = fe ^ {-r_c n}$​（n）年收到的F的PV=erc​nf​=fe- rc​n​

例如，如果您將在連續6％的連續率下以三年的價格在三年內獲得100美元，則其現值由以下方式給出：

 $\ begin {Aligned}＆\ text {pv} = fe ^ {-r_c n} =（\ $ 100）$​PV=fe- rc​n=（（$100）e- （（0。06）（（3）=$100e- 0。18≅$83。53​

在多個時期擴展

連續複合回報的便利屬性是它們在多個時期內擴展。如果第一階段的回報率為4％，第二階段的回報率為3％，則兩週的回報率為7％。

考慮到我們以100美元的價格開始，第一年結束時增長到120美元，然後在第二年結束時150美元。連續的複合回報分別為18.23％和22.31％。

$\ begin {對齊}＆\ ln \ left（\ frac {120} {100} \ right）\ cong 18.23 \％\％\\ end end {aligned}$​Ln（（100120​）≅18.23％​

$\ begin {Aligned}＆\ ln \ left（\ frac {150} {120} \ right）\ cong 22.31 \％\％\\ end end {aligned}$​Ln（（120150​）≅22.31％​

如果我們簡單地將它們加在一起，我們將獲得40.55％。這是兩個週期的回報：

$\ begin {對齊}＆\ ln \ left（\ frac {150} {100} \ right）\ cong 40.55 \％\％\\ end end {aligned}$​Ln（（100150​）≅40.55％​

從技術上講，持續回報是時間一致的。時間一致性是技術對處於風險的價值的要求（var）。這意味著，如果單週期返回是正態分佈的隨機變數，我們希望多期隨機變量也正態分佈。

此外，多周期的連續複合回報是正態分佈的（與簡單百分比回報不同）。

連續複合興趣的示例

承擔年度貸款利率12％。如果我們以100美元的價格開始，而在今年年底，則只有一次化合物，則本金將增長到112美元（$ 100 x 1.12 = $ 112）。僅適用於本金的興趣被稱為簡單利益。

如果我們複合每個月佔1％，我們最終在年底獲得了112美元以上。也就是說，$ 100 x 1.01^12等於$ 112.68。 （這更高，因為我們更頻繁地複合。）

現在假設興趣是連續複雜的，從貸款被簽名。這意味著應付的餘額每天增長0.0329％。假設一年365天，到年底到期的應付額將為$ 100 x 1.000328^365，即$ 112.75。

每小時甚至每一分鐘都可以使總利息更高，但對於大多數人來說都是不切實際的金融機構。實際上，興趣越頻繁地更加複雜，總積累將越接近連續的複合公式。

底線

我們可以將年利率重新定為半年度，季度，每月或每日利率（或收益率）。最常見的複合是連續的複合，這要求我們使用自然日誌和指數功能，該功能由於其理想的特性而在金融中通常使用。複合不斷提供一個計算，該計算可以在多個時期易於擴展並且是段時一致的。